Trigonometrische Verhältnisse von speziellen Dreiecken

Bis jetzt haben wir den Taschenrechner benutzt, um den Sinus, Kosinus und den Tangens eines Winkels zu berechnen. Es ist aber möglich die trigonometrischen Funktionen bei bestimmten Winkels ohne Taschenrechner zu berechnen.

Dies ist so, weil es zwei besondere Dreiecke gibt, deren Seitenverhältnisse wir kennen! Diese zwei Dreiecke sind die 45-45-90 Dreiecke und die 30-60-90 Dreiecke.

Ein 30-60-90 Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem ${30}^{\circ }$‍ Grad Winkel und einem ${60}^{\circ }$‍ Grad Winkel.

Ein 45-45-90 Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei ${45}^{\circ }$‍ Grad Winkeln.

Wir sind nun bereit die trigonometrischen Funktionen dieser besonderen Dreiecke zu berechnen. Wir beginnen mit ${30}^{\circ }$‍.

Untersuche das Berechnungsbeispiel unten, um zu sehen wie dies gemacht wird.

Hier ist ein Berechnungsbeispiel:

Schritt 1: Zeichne das besondere Dreieck, das die Winkel enthält, die uns interessieren.

Schritt 2: Bezeichne die Schenkel des Dreiecks entsprechend der Verhältnisse dieses besonderen Dreiecks.

Schritt 3: Verwende die Definition der trigonometrischen Verhältnisse um den Wert des angegebenen Ausdrucks zu bestimmen.

Beachte, dass du $x$‍ als $1x$‍ betrachten kannst, daher ist es klar, dass ${\displaystyle \frac{x}{2x}}={\displaystyle \frac{1x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Nun verwenden wir diese Methode um $\cos ({30}^{\circ })$‍ und $\tan ({30}^{\circ })$‍ zu bestimmen.

Versuchen wir dieses Vorgehen wieder mit ${45}^{\circ }$‍. Hier können wir beginnen, indem wir die Schenkel eines 45-45-90 Dreiecks zeichnen und benennen.

Das Vorgehen die trigonometrischen Verhältnisse bei den besonderen Winkeln ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ und ${60}^{\circ }$‍ herzuleiten, ist das gleiche.

Obwohl wir noch nicht gezeigt haben wie die trigonometrischen Verhältnisse von ${60}^{\circ }$‍ bestimmt werden, haben wir alle Informationen, die wir brauchen!

Wir haben die trigonometrischen Verhältnisse für ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ und ${60}^{\circ }$‍ berechnet. Die Tabelle unten fasst unsere Ergebnisse zusammen.

Diese Werte neigen dazu öfter in anspruchsvolleren trigonometrischen Aufgabe aufzutreten. Darum ist es hilfreich, sie zu kennen.

Einige Leute entscheiden sich dazu, sich diese Werte zu merken, aber das Merken ist nicht notwendig. In diesem Artikel hast du die Werte selbst hergeleitet, daher kannst du hoffentlich die wieder herleiten, wenn du sie zukünftig brauchst.