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Trigonometrie

Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1

Lesson 5: Sinus und Kosinus von Komplementärwinkeln

Trigonometrische Verhältnisse von speziellen Dreiecken

Lerne den Sinus, den Kosinus und den Tangens von 45-45-90 Dreiecken und auch 30-60-90 Dreiecken zu bestimmen.

Bis jetzt haben wir den Taschenrechner benutzt, um den Sinus, Kosinus und den Tangens eines Winkels zu berechnen. Es ist aber möglich die trigonometrischen Funktionen bei bestimmten Winkels ohne Taschenrechner zu berechnen.

Dies ist so, weil es zwei besondere Dreiecke gibt, deren Seitenverhältnisse wir kennen! Diese zwei Dreiecke sind die 45-45-90 Dreiecke und die 30-60-90 Dreiecke.

Die speziellen Dreiecke

30-60-90 Dreiecke

Ein 30-60-90 Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem 30, degrees Grad Winkel und einem 60, degrees Grad Winkel.

[Ich bin skeptisch. Kannst du mir zeigen, wie wir diese Verhältnisse herleiten?]

45-45-90 Dreiecke

Ein 45-45-90 Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei 45, degrees Grad Winkeln.

[Ich bin skeptisch. Kannst du mir zeigen, wie wir diese Verhältnisse herleiten?]

Die trigonometrischen Verhältnisse von 30, degrees

Wir sind nun bereit die trigonometrischen Funktionen dieser besonderen Dreiecke zu berechnen. Wir beginnen mit 30, degrees.

Untersuche das Berechnungsbeispiel unten, um zu sehen wie dies gemacht wird.

Was ist sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Hier ist ein Berechnungsbeispiel:

Schritt 1: Zeichne das besondere Dreieck, das die Winkel enthält, die uns interessieren.

[Warum?]

Schritt 2: Bezeichne die Schenkel des Dreiecks entsprechend der Verhältnisse dieses besonderen Dreiecks.

Schritt 3: Verwende die Definition der trigonometrischen Verhältnisse um den Wert des angegebenen Ausdrucks zu bestimmen.

\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{Gegenkathete }}{\text{Hypotenuse}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Beachte, dass du x als 1, x betrachten kannst, daher ist es klar, dass start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

Nun verwenden wir diese Methode um cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis und tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis zu bestimmen.

Was ist cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

[Lösungen anzeigen.]

Was ist tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Die trigonometrischen Verhältnisse von 45, degrees

Versuchen wir dieses Vorgehen wieder mit 45, degrees. Hier können wir beginnen, indem wir die Schenkel eines 45-45-90 Dreiecks zeichnen und benennen.

Was ist cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

[Hinweis anzeigen]

Was ist sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Was ist tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Die trigonometrischen Verhältnisse von 60, degrees

Das Vorgehen die trigonometrischen Verhältnisse bei den besonderen Winkeln 30, degrees, 45, degrees und 60, degrees herzuleiten, ist das gleiche.

Obwohl wir noch nicht gezeigt haben wie die trigonometrischen Verhältnisse von 60, degrees bestimmt werden, haben wir alle Informationen, die wir brauchen!

Was ist cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

[Hinweis anzeigen]

Was ist sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Was ist tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Eine Zusammenfassung

Wir haben die trigonometrischen Verhältnisse für 30, degrees, 45, degrees und 60, degrees berechnet. Die Tabelle unten fasst unsere Ergebnisse zusammen.

	cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis	sine, left parenthesis, theta, right parenthesis	tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degrees	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degrees	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degrees	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54

Diese Werte neigen dazu öfter in anspruchsvolleren trigonometrischen Aufgabe aufzutreten. Darum ist es hilfreich, sie zu kennen.

Einige Leute entscheiden sich dazu, sich diese Werte zu merken, aber das Merken ist nicht notwendig. In diesem Artikel hast du die Werte selbst hergeleitet, daher kannst du hoffentlich die wieder herleiten, wenn du sie zukünftig brauchst.

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Die speziellen Dreiecke

Die trigonometrischen Verhältnisse von 30∘30^\circ30∘30, degrees

Was ist sin⁡(30∘)\sin(30^\circ)sin(30∘)sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Was ist cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)cos(30∘)cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Was ist tan⁡(30∘)\tan(30^\circ)tan(30∘)tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Die trigonometrischen Verhältnisse von 45∘45^\circ45∘45, degrees

Was ist cos⁡(45∘)\cos (45^\circ)cos(45∘)cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Was ist sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)sin(45∘)sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Was ist tan⁡(45∘)\tan (45^\circ)tan(45∘)tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Die trigonometrischen Verhältnisse von 60∘60^\circ60∘60, degrees

Was ist cos⁡(60∘)\cos(60^\circ)cos(60∘)cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Was ist sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘)sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Was ist tan⁡(60∘)\tan(60^\circ)tan(60∘)tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?