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Sinus & Kosinus von Komplementärwinkeln

Sal zeigt, dass der Sinus eines beliebigen Winkels gleich dem Kosinus seines komplementären Winkels ist. Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

Verhältnis von Cosinus und Sinus von Ergänzungswinkeln im rechtwinkligen Dreieck Wir wissen, dass ein Dreieck drei Winkel hat. Wir wissen, dass ein Dreieck drei Winkel hat. Alle rechtwinkligen Dreiecke, wie zum Beispiel auch dieses hier, haben einen rechten Winkel. Alle rechtwinkligen Dreiecke, wie zum Beispiel auch dieses hier, haben einen rechten Winkel. Alle rechtwinkligen Dreiecke, wie zum Beispiel auch dieses hier, haben einen rechten Winkel. Es bleiben zwei andere Winkel, mit denen wir uns auseinandersetzen. In diesem Video untersuchen wir die Beziehung zwischen dem Sinus eines dieser Winkel mit dem Cosinus des anderen Winkels, In diesem Video untersuchen wir die Beziehung zwischen dem Sinus eines dieser Winkel mit dem Cosinus des anderen Winkels, und dem Cosinus des Winkels mit Sinus des anderem. und dem Cosinus des Winkels mit Sinus des anderem. Dafür sagen wir, der Winkel A ist gleich Theta. Dafür sagen wir, der Winkel A ist gleich Theta. Dafür sagen wir, der Winkel A ist gleich Theta. Wenn der Winkel also gleich Theta ist, sein Winkel also Theta Grad beträgt, wie viel Grad wird dann der Winkel B haben? wie viel Grad wird dann der Winkel B haben? Was dir wahrscheinlich direkt auffallen wird, weil wir es bereits in anderen Problemen gesehen haben, Was dir wahrscheinlich direkt auffallen wird, weil wir es bereits in anderen Problemen gesehen haben, ist, dass die Summe aller Winkel immer 180° beträgt. ist, dass die Summe aller Winkel immer 180° Grad beträgt. Und da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, hat dieser Winkel hier bereits 90 der insgesamt 180° Grad. Also bleiben 90° Grad übrig. Diese beiden Winkel müssen also insgesamt 90° Grad betragen. Winkel A und Winkel B sind also Ergänzungswinkel. Winkel A und Winkel B ergänzen sich. Sie ergänzen einander. Man kann also auch sagen der Winkel B ist gleich 90 minus theta (B=90-theta) Man kann also auch sagen der Winkel B ist gleich 90 minus theta (B=90-theta) Wenn du also Theta plus 90 Grad minus Theta rechnest, wird dies 90° Grad ergeben (Theta+90-Theta=90) Wenn du also Theta plus 90 Grad minus Theta rechnest, wird dies 90° Grad ergeben (Theta+90-Theta=90) Warum ist dies interessant? Denken wir darüber nach, womit der Sinus von Theta gleich ist. Der Sinus ist die Gegenkathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Die gegenüber liegende Seite ist BC. Also ist es die Länge von BC im Verhältnis zur Hypotenuse. Also ist es die Länge von BC im Verhältnis zur Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die Seite AB. Also die Länge von BC im Verhältnis zur Länge von AB. Also die Länge von BC im Verhältnis zur Länge von AB. Wie ist das Verhältnis, wenn wir uns nun diesen Winkel anschauen? Wie ist das Verhältnis, wenn wir uns nun diesen Winkel anschauen? Für den Winkel B ist BC die Ankathete und AB ist die Hypotenuse. Für den Winkel B ist BC die Ankathete und AB ist die Hypotenuse. Für den Winkel B steht also die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Für den Winkel B steht also die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Bei welche trigonometrische Verhältnis steht also die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse? Beim Cosinus. Das schreiben wir einmal auf. (soh: sin=Gegenkathete/Hypotenuse; cah: cos=Ankathete/Hypotenuse; toa: Tangente=Gegenkathete/Ankathete) Das schreiben wir einmal auf. (soh: sin=Gegenkathete/Hypotenuse; cah: cos=Ankathete/Hypotenuse; toa: Tangente=Gegenkathete/Ankathete) Der Sinus ist gleich die Gegenkathete im Verhältnis zur Hypotenuse (soh). Das sehen wir hier. Der Cosinus ist gleich die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse (cah). Und die Tangente ist gleich die Gegenkathete im Verhältnis zu Ankathete (toa). Für diesen Winkel ist also die Seite BC die Ankathete Für diesen Winkel ist also die Seite BC die Ankathete und die Hypotenuse bleibt AB. Für diesen Winkel ist also dies hier die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Für diesen Winkel ist also dies hier die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. Anders ausgedrückt ist es der Cosinus dieses Winkels. Anders ausgedrückt ist es der Cosinus dieses Winkels. Also ist dies hier gleich dem Cosinus von 90° Grad minus Theta. Also ist dies hier gleich dem Cosinus von 90° Grad minus Theta. Der Sinus eines Winkels ist also gleich dem Cosinus seines Ergänzungswinkels Der Sinus eines Winkels ist also gleich dem Cosinus seines Ergänzungswinkels Der Sinus von zum Beispiel 60 Grad (sin 60°) ist also gleich dem Cosinus von ...? Der Sinus von zum Beispiel 60 Grad (sin 60°) ist also gleich dem Cosinus von ...? Der Sinus von zum Beispiel 60 Grad (sin 60°) ist also gleich dem Cosinus von ...? Der Sinus von zum Beispiel 60 Grad (sin 60°) ist also gleich dem Cosinus von ...? An dieser Stelle möchte ich euch vorschlagen, das Video zu pausieren und selbst darüber nachzudenken. Es ist also der Cosinus von 90° minus 60 (cos 90° - 60). Also der Cosinus von 30 (cos 30°) 30 plus 60 ist 90. Und natürlich geht das auch anders herum. So könnten wir uns den Cosinus von Theta vornehmen. Der Cosinus von Theta ist gleich die Ankathete des Winkels A - Der Cosinus von Theta ist gleich die Ankathete des Winkels A - die Ankathete ist hier, es ist AC - die Ankathete ist hier, es ist AC - also AC im Verhältnis zur Hypotenuse. also AC im Verhältnis zur Hypotenuse. Die Hypotenuse ist AB. Aber wie ist das Verhältnis für den Winkel B? Der Sinus von Winkel B ist gleich die Gegenkathete AC im Verhältnis zur Hypotenuse AB. Der Sinus von Winkel B ist gleich die Gegenkathete AC im Verhältnis zur Hypotenuse AB. Also ist dies hier der Sinus von Winkel B. Also ist dies hier der Sinus von Winkel B. Und das ist gleich dem Sinus von 90° Grad minus Theta. Also ist der Cosinus eines Winkels gleich dem Sinus seines Ergänzungswinkels Also ist der Cosinus eines Winkels gleich dem Sinus seines Ergänzungswinkels Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Cosinus seines Ergänzungswinkels