Beispielaufgabe: Kubikwurzel einer negativen Zahl

Wir sollen die Kubikwurzel von -512 finden. Anders gesagt: Wenn die gesuchte Zahl gleich die Kubikwurzel von -512 ist, dann bedeutet dies, dass wenn man diese gesuchte Zahl hoch 3 rechnet, dies -512 ergibt. Wenn du vielleicht nicht sofort erkennst, was die Kubikwurzel hier ist respektive welche Zahl wir hoch 3 rechnen müssen, ist es am besten, hier die Primfaktorenzerlegung vorzunehmen. Bevor wir aber diese Primfaktorenzerlegung machen, um zu sehen, welche Faktoren hier zumindest 3 Mal auftauchen, lass uns zuerst über dieses Minus hier nachdenken. -512 ist das Gleiche wie ... Ich schreibe den Ausdruck erneut hin. Es ist das Gleiche wie die Kubikwurzel von -1 mal 512. Und es ist das Gleiche wie die Kubikwurzel von -1 mal die Kubikwurzel von 512. Dieser Teil hier ist eigentlich sehr einfach. Welche Zahl, wenn ich diese hoch 3 rechne, ergibt gleich -1? Nun, es ist -1. Das hier ist -1. -1^3 ist gleich -1 mal -1 mal -1, was schlicht -1 ist. Die Kubikwurzel von -1 ist also -1. Wir haben nun -1 mal die Kubikwurzel von 512. Mal schauen, was das sein könnte. Lass uns die Primfaktorenzerlegung vornehmen. 512 ist 2 mal 256. 256 ist 2 mal 128. 128 ist 2 mal 64. Wir sehen eine 2 bereits drei Mal. 64 ist 2 mal 32. 32 ist 2 mal 16. Wir haben hier eine Menge Zweien. 16 ist 2 mal 8. 8 ist 2 mal 4. Und 4 ist 2 mal 2. Wenn man mit 2 multipliziert, und zwar deren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Mal, dann erhält man 512. Das bedeutet auch, dass 2^9 gleich 512 ist. Und dies könnte bereits ein Hinweis darauf sein, was die gesuchte Kubikwurzel ist. Aber nun zu einer anderen Betrachtungsweise: Hier haben wir definitiv drei Zweien. Können wir aber drei Gruppen an Zweien finden? ... Wir können drei Gruppen an zwei Zweien finden. Das ist 2 mal 2 gleich 4. 2 mal 2 ist 4. Also mindestens ist 4 mit sich selbst drei Mal multipliziert als Divisor von diesem möglich. Wir sehen hier aber sogar drei Gruppen an je drei Zweien. Das sind also 3 Gruppen. Jede dieser Gruppen beinhaltet 2 mal 2 mal 2, also 8. Das ist 8. Dies ist 2 mal 2 mal 2. Das ist 8. Und dies ist 2 mal 2 mal 2. Ebenfalls 8. 512 ist also gleich 8 mal 8 mal 8. Wir können somit diesen Ausdruck umschreiben als die Kubikwurzel von 8 mal 8 mal 8. Dies ist gleich -1 (oder man kann einfach nur das Minuszeichen schreiben) -1 mal die Kubikwurzel aus 8 mal 8 mal 8. Die Frage lautet, welche Zahl wird mit sich selbst drei Mal multipliziert, also hoch 3 gerechnet, und ergibt 512. Wir rechneten 8 mal 8 mal 8. Also ist es 8. Dieser Teil hier wird demnach zu 8 vereinfacht. Die Kubikwurzel von -512 ist -8. Die Kubikwurzel von -512 ist -8. Du kannst das auch nachprüfen. Multipliziere 8 mit sich selbst drei Mal. Lass es uns rechnen. -8 mal -8 mal -8. -8 mal -8 ist gleich 64 (im Plus). Dies multiplizieren wir mal -8 und erhalten -512.