Binomische Ausmultiplikation & Kombinatorik (alt)

In diesem Video möchte ich dir erklären, warum die Multiplikation von Binomen mit Kombinatorik zu tun hat, und warum wir die binomischen Koeffizienten überhaupt darin haben. Ich werde mehrere Farben verwenden. Die Farben haben diesmal eine Bedeutung, damit du ein besseres Verständnis bekommst. Wir multiplizieren (a + b)³. (a + b)³ = (a + b) ⋅ (a + b) ⋅ (a + b). Wir wenden nun das Distributivgesetz an. Das ergibt a ⋅ (a + b), ich nehme ein anderes Grün, da die Farben diesmal wichtig sind. (a ⋅ (a + b) + b ⋅ (a + b)) ⋅ (a + b). Jetzt multiplizieren wir den inneren Teil. Ich behalte das ausmultipliziert bei. Wir rechnen also a ⋅ grünes a + a ⋅ b + b ⋅ a + gelbes b ⋅ grünes b. Wir haben es gleich geschafft. Das alles multipliziert mit (a + b). Wir multiplizieren also dieses blaue a mit allem, und addieren das Ergebnis von der Multiplikation des blauen b mit allem. Wir multiplizieren jetzt also das blaue a mit allem. Der erste Term ist gelbes a, grünes a und dann blaues a. Wir haben also aaa. Dann addieren wir das Ergebnis von diesen Termen multipliziert mit dem blauen a. Also gelbes a, grünes b und dann blaues a + gelbes b, grünes a und blaues a. baa. Wir haben es bald geschafft. + gelbes b ⋅ grünes b ⋅ blaues a. Wir sind also endlich fertig mit den blauen a's. Hier steht ein blaues a. Jetzt multiplizieren wir das blaue b mit allem. Also gelbes a ⋅ grünes a ⋅ blaues b + gelbes a ⋅ grünes b ⋅ blaues b. Jetzt kommen wir zum gelben b. Durch die Farben ist es leichter zu erkennen, wo wir gerade sind. + gelbes b ⋅ grünes a ⋅ blaues b. Dann sind wir beim letzten Term. + gelbes b ⋅ grünes b ⋅ blaues b. Das ist also die Entwicklung von (a + b)³. Wir haben nichts vereinfacht, und das aus gutem Grund. Jeder Term besteht aus 3 Zahlen, die multipliziert werden. Die gelbe Zahl kommt von diesem gelben (a + b). Die grüne, mittlere Zahl, kommt von diesem mittleren (a + b). Und die blaue Zahl kommt von diesem rechten (a + b). Und du hast gesehen, dass ich alles durchgegangen bin. Also hoffentlich glaubst du mir. Denken wir jetzt darüber nach. Um jeden dieser Terme in der Entwicklung von (a + b)³ zu erhalten, nehmen wir vom gelben (a + b) entweder a oder b. Richtig? Wir haben hier ein a genommen, wir haben hier ein a genommen. Hier haben wir ein b genommen, hier ein b, hier ein a, hier ein a, hier ein b. Und vom grünen (a + b) nehmen wir entweder ein a oder ein b. Und vom blauen (a + b) nehmen wir entweder ein a oder ein b. Richtig? In dieser Entwicklung haben wir also jede Möglichkeit durchgeführt, 3 verschiedene Dinge auszuwählen. Jede Möglichkeit, entweder ein a oder ein b von diesen 3 verschiedenen Termen auszuwählen. Und wir erhalten 8 Terme. Richtig? Ich möchte dir etwas mehr Verständnis vermitteln, für das, was hier passiert. Du siehst dann, warum wir hier besonders mit Permutationen und Kombinationen zu tun haben. Was passiert, sobald wir das vereinfachen? Das ist a³, richtig? Das ist der einzige a³-Term. Das ist a²b. Welche anderen a²b-Terme haben wir? Das ist auch a²b. Schauen wir mal, wie viele a²b-Terme es gibt. Das ist a²b. Das ist ba², aber das ist dasselbe wie a²b. Wo ist noch ein a²b? Das ist auch a²b, richtig? a ⋅ a ⋅ b. Also gibt es 3 Wege, um a²b zu erhalten. Wenn wir also schließlich die Entwicklung schreiben, wissen wir, dass der Koeffizient davor 3a²b ist, richtig? Das ist der Koeffizient des a²b-Terms, wenn wir ihn ausmultiplizieren. Und das haben wir bereits mehrere Male gemacht, als wir den Binomischen Lehrsatz angewandt und mit 3 potenziert haben. Wo kommt also diese 3 her und warum ist es dasselbe, wie als wir die Definition des Binomischen Lehrsatzes gelernt haben? Ist es einfach so, dass das dasselbe ist wie (2 aus 3) ⋅ a²b? Nein. Es ist eher so, dass wir bereits wissen, dass wir für jeden Term in der Entwicklung entweder ein a oder ein b nehmen, richtig? Wir müssen einen Term von jedem dieser Terme nehmen. Wir fragen uns also, wie viele Kombinationen es gibt, um a²b zu erhalten. Und das ist das Stichwort. Wie viele Kombinationen gibt es, bei denen ich aus diesen 3 (a + b)-Termen den a-Term auswähle? Ich wähle 2 a-Terme aus. Weil ich 2 a-Terme brauche, um a² zu erhalten. Ich wähle also 3-mal aus und 2-mal davon muss ich einen a-Term wählen. Ich wähle 3-mal. 2-mal davon wähle ich einen a-Term. Von 3 Malen, wähle ich also 2. Daher kommt 2 aus 3 für den a²b-Term. Für den ab²-Term wähle ich 1-mal ein a. Wie viele Wege gibt es, 1-mal ein a zu wählen, wenn ich aus 3 Dingen auswähle? Es könnte also 1 aus 3 sein. Du könntest dich aber auch fragen, wie viele Wege es gibt, b 2-mal zu wählen, wenn du 3-mal auswählst. Nun, wenn ich ab² habe, wähle ich 2-mal b. Das sollte also dasselbe wie (2 aus 3) ab² sein. Und wenn du sie ausrechnest, findest du heraus, dass beide 3 ergeben. Deswegen gibt es hier eine Symmetrie und die Kombinationen stimmen. Ich hoffe, das gibt dir ein Gefühl für das Thema. Die binomische Entwicklung hiervon, ich schreibe es nochmal auf, das ist (a + b)³. Es ist (0 aus 3) a³b⁰ + (1 aus 3) a²b¹ + (2 aus 3) ab² + (3 aus 3) a⁰b³. Was sagt (3 aus 3) aus? Wenn ich von 3 verschiedenen Dingen wähle, auf wie viele Arten kann ich genau 3-mal b auswählen? Das sagt es aus. Auf wie viele Arten kann ich 3 b's auswählen? Ich wähle entweder a oder b, richtig? Es könnte auch Kopf oder Zahl, rot oder schwarz sein, aber es ist a oder b. Auf wie viele Arten kann ich b 3-mal aus 3 Dingen auswählen? Wenn du es ausrechnest, erhältst du 1 und das ergibt Sinn. Da es 1b³ ist. Und genauso sagt das hier aus, wie viele Wege es gibt, aus 3 Dingen exakt 0-mal b auszuwählen. Das ist 0 aus 3. Wie viele Wege gibt es, exakt 0 b's auszuwählen? Es ist dasselbe, wie die Frage "Wie viele Wege gibt es, exakt 3-mal a auszuwählen?" Es ergibt also auch 1. Es gibt nur einen Weg. Und das ist er. Es gibt nur einen Weg, das zu erreichen und das war er. Es gibt 3 Wege, um a²b zu erreichen. Es gibt 3 mögliche einzigartige Permutationen. Aber sie sind alle dieselbe Kombination. Es gibt 3 identische Kombinationen, um 2-mal a und 1-mal b auszuwählen, und das sind diese 3 hier. Ich hoffe, ich verwirre dich nicht, und du hast ein besseres Verständnis dafür bekommen, warum Kombinationen überhaupt etwas mit dem Binomischen Lehrsatz zu tun haben, oder ob sie überhaupt involviert sind, wenn du ein potenziertes Binom entwickelst. Vielleicht hast du ja jetzt sogar ein sehr gutes Verständnis dafür, warum das passiert. Bis zum nächsten Video.