Binomische Ausmultiplikation & Kombinatorik

In diesem Video möchte ich dir erklären, warum der Binomische Lehrsatz bzw. die Binomische Formel mit Kombinatorik zu tun hat. Denken wir darüber nach, welche Entwicklung wir hier haben. Ich nehme ein einfaches Beispiel: (x + y)³ = (x + y) (x + y) (x + y). Wir wissen bereits, wie die Terme aussehen, wir könnten von jedem von ihnen ein x auswählen. Wenn wir genau ein x von jedem von ihnen auswählen, haben wir x³. Wir haben kein y gewählt, da wir von jedem dieser Terme ein x ausgewählt haben, als wir diesen Term ausmultipliziert haben. Wie viele Wege gibt es, um darauf zu kommen? Wie viele Wege gibt es, wenn wir aus 3 Dingen auswählen, dass wir exakt 0-mal y haben? Es gibt nur einen möglichen Weg. Indem wir kein y von jedem der Terme bzw. ein x von jedem der Terme auswählen. Der Koeffizient hier drüben ist 1x³. Wenn du dieses Produkt ausrechnest, beinhaltet nur einer der Terme anfangs ein x³. Was ist mit dem nächsten Term? Wir addieren. Jetzt wählen wir wieder aus den 3 Termen, aber wir wollen 1 y haben. Du kannst es auch so betrachten, dass wir 3 Personen haben, diese Person, diese Person und diese Person. Eine davon wählst du als deinen Freund aus. Von welchem wählst du das y? Es ist genau dasselbe wie eine Kombinatorik-Aufgabe: Aus 3 Dingen wählst du 1 davon aus, das y ist. 1 aus 3 = 3. Wenn du 1 y auswählst, bedeutet das, dass du 2-mal x wählst und wir nehmen das Produkt von allem, also x² ⋅ y¹. Wir können so weitermachen, also addieren wir. Jetzt denken wir über die Situation nach, in der wir 2 y's aus 3 Dingen auswählen. Also x¹y². Wir beginnen mit 3 Dingen, und wir wählen 2 y's aus. Es könnte also dieses y und dieses y sein, um das Produkt y² zu erhalten. Es könnte y ⋅ y ⋅ diesem x sein, oder y ⋅ y ⋅ diesem x, der y ⋅ x ⋅ y. Das ist 2 aus 3, wenn wir aus 3 Dingen wählen, wie viele verschiedene Kombinationen gibt es, 2 Dinge auszuwählen? Wenn du 3 Freunde hast, in wie vielen Kombinationen kannst du 2 davon in dein 2-Sitzer-Auto setzen, wenn es dir egal ist, wer wo sitzt? Du denkst darüber nach, aus wie vielen verschiedenen Kombinationen du wählen kannst. Das ergibt wieder 3. Und schließlich: Wie viele verschiedene Wege gibt es, aus einem Set von 3 verschiedenen Dingen zu wählen, also von jedem dieser Ausdrücke, wie viele Wege gibt es, genau 3 y's auszuwählen? Es gibt nur einen Weg: Du nimmst dieses y, dieses y und dieses y. Wenn du 3 y's auswählst, bedeutet das, dass du 0-mal x ausgewählt hast, und 3-mal y ausgewählt hast. Deswegen arbeiten wir hier mit Kombinatorik. 3 aus 3. Von 3 Ausdrücken bzw. Binomen, von denen du das Produkt nimmst, musst du 3 y's auswählen. Also musst du bei jedem den zweiten Term auswählen. Es gibt nur einen Weg, das zu tun. Hier wählst du den zweiten Term, den y-Term, in exakt 2 Termen aus. Hier wählst du den y-Term in exakt einem Term aus. Hier gibt es 3 Wege, das zu tun 3 Wege, das zu tun, 1 Weg das zu tun, 1 Weg das zu tun. Das ist 1, das ist 3, wenn du die Formel für k aus n anwendest, erhältst du hier 3 und hier 1.