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Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 4
Lektion 2: Den binomischen Lehrsatz verstehenPascalsches Dreieck & Kombinatorik
Sal zeigt, wie die Generierung der Werte im Pascalschen Dreieck mit der kombinatorischen Formel (n über k) zusammenhängt. Erstellt von Sal Khan
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Video-Transkript
In diesem Video möchte ich die Verbindung
zwischen dem Binomischen Lehrsatz und sowohl der Kombinatorik, als auch
dem Pascalschen Dreieck verdeutlichen. Kurze Wiederholung: wenn wir z.B. (x + y)³ haben, ich nutze das als einfaches Beispiel mit 3 gleichen Ausdrücken, die wir miteinander multiplizieren. Wir rechnen (x + y) ⋅ (x + y) ⋅ (x + y). Das ist das erste (x + y), das ist das zweite (x + y) und das ist das dritte (x + y). Du schaust dir jetzt die Entwicklung davon an, und fragst dich, wie viele
Möglichkeiten es gibt, xy² zu erhalten. Oder du kannst es so betrachten,
dass du diese 3 Ausdrücke hast, und 2 von ihnen auswählst, dir jeweils 1 y
zu geben, und du bildest davon dann das Produkt. Du könntest z.B. Ausdruck 1 und
Ausdruck 2 dazu auswählen, dir ein y zu geben. Du könntest Ausdruck 1 und Ausdruck 3
auswählen, um dir ein y zu geben, oder du könntest Ausdruck 2 und
Ausdruck 3 wählen, um dir ein y zu geben. Die anderen Ausdrücke sind dann
natürlich diejenigen, die dir das x geben. Du hast 3 Ausdrücke, und du wählst
2 davon aus, dir das y zu geben. Dadurch hast du diesen Begriff
aus der Kombinatorik: 2 aus 3. Es ist genau dieselbe mathematische
Aufgabe, wie wenn du 3 Freunde hast, und 2 aussuchst, um in deinem Auto
mitzufahren, und es dir egal ist, wer wo sitzt. Du überlegst quasi, welche 2 Freunde
du für dein 2-Sitzer-Auto auswählst. Hier ist es dasselbe. Aus diesen
3 Freunden, welche 2 wähle ich aus, um von ihnen ein y für dieses Produkt zu erhalten? Der dritte Freund steuert dann ein x bei. Jetzt kommen wir zum Pascalschen Dreieck und sehen hoffentlich, dass es sich um sehr ähnliche Ideen handelt. Wir schauen uns denselben Term hier drüben an: xy². Ich stelle mir das Pascalsche Dreieck
immer wie eine Karte vor. Das ist ein Knoten in der Karte, und ich frage mich, wie viele verschiedene Wege es gibt, um zu diesem Knoten auf der Karte zu gelangen. Ich könnte ein y² haben und
es dann mit einem x multiplizieren. Da wir mit einem x multiplizieren,
habe ich diese Linie orange gemalt. Ich könnte aber auch ein xy haben
und es mit blau multiplizieren, es gibt zwei direkte Wege darüber,
wie ich dort hinkommen kann, aber es gibt zwei Wege, um dorthin zu kommen, und einen, um zu diesem zu gelangen, also ist der kombinierte Weg,
um hierher zu kommen 2 + 1 = 3. Ich hoffe, ich verdeutliche die Verbindung
zwischen dem, was ich gerade gesagt habe, Was hier passiert, ist, dass, jedes Mal, wenn wir an einem
dieser Knoten einen Weg auswählen, sagen wir quasi, dass wir ein x oder ein y
von jedem dieser Ausdrücke auswählen. Wir haben die Ausdrücke nummeriert,
also nummerieren wir sie jetzt hier. Das ist Ausdruck 1, das ist Ausdruck 2, das ist Ausdruck 3. Wir haben gesagt, dass es 3 Wege gibt, die uns hierher bringen, also zeichnen wir sie ein. Es gibt diesen Weg, dann gibt es diesen Weg hier
drüben, der uns hierher bringt, und das ist der Weg, wenn wir
das x von Ausdruck 1 wählen. Wir haben die linke Seite gewählt, dann gehen wir nach rechts. Wir wählen das y von Ausdruck 2, dann wählen wir das y von Ausdruck 3. Bei den letzten zwei wählen
wir den rechten, blauen Weg. Das ist quasi ein Weg, wie wir 2 y's aus
diesen 3 Ausdrücken wählen könnten. Nochmal: 1 Weg, um 2 y's
aus 3 Ausdrücken auszuwählen. Aber uns interessiert nicht nur der eine
Weg, sondern alle verschiedenen Wege. Das war ein Weg, ein anderer
Weg wäre es, hier lang zu gehen. Wir wählen ein y vom ersten, ein x vom
zweiten und ein y vom dritten Ausdruck. Oder wählen ein y vom ersten, ein y vom
zweiten und ein x vom dritten Ausdruck. Auf einer fundamentalen, mathematischen
Ebene löst es das exakt selbe Problem. Ich hoffe, das hilft dir zu verstehen, warum das Pascalsche Dreieck
mit Kombinatorik verbunden ist, und warum beide nützlich sind,
um binomische Entwicklungen zu finden.