Pascalsches Dreieck & Kombinatorik

In diesem Video möchte ich die Verbindung zwischen dem Binomischen Lehrsatz und sowohl der Kombinatorik, als auch dem Pascalschen Dreieck verdeutlichen. Kurze Wiederholung: wenn wir z.B. (x + y)³ haben, ich nutze das als einfaches Beispiel mit 3 gleichen Ausdrücken, die wir miteinander multiplizieren. Wir rechnen (x + y) ⋅ (x + y) ⋅ (x + y). Das ist das erste (x + y), das ist das zweite (x + y) und das ist das dritte (x + y). Du schaust dir jetzt die Entwicklung davon an, und fragst dich, wie viele Möglichkeiten es gibt, xy² zu erhalten. Oder du kannst es so betrachten, dass du diese 3 Ausdrücke hast, und 2 von ihnen auswählst, dir jeweils 1 y zu geben, und du bildest davon dann das Produkt. Du könntest z.B. Ausdruck 1 und Ausdruck 2 dazu auswählen, dir ein y zu geben. Du könntest Ausdruck 1 und Ausdruck 3 auswählen, um dir ein y zu geben, oder du könntest Ausdruck 2 und Ausdruck 3 wählen, um dir ein y zu geben. Die anderen Ausdrücke sind dann natürlich diejenigen, die dir das x geben. Du hast 3 Ausdrücke, und du wählst 2 davon aus, dir das y zu geben. Dadurch hast du diesen Begriff aus der Kombinatorik: 2 aus 3. Es ist genau dieselbe mathematische Aufgabe, wie wenn du 3 Freunde hast, und 2 aussuchst, um in deinem Auto mitzufahren, und es dir egal ist, wer wo sitzt. Du überlegst quasi, welche 2 Freunde du für dein 2-Sitzer-Auto auswählst. Hier ist es dasselbe. Aus diesen 3 Freunden, welche 2 wähle ich aus, um von ihnen ein y für dieses Produkt zu erhalten? Der dritte Freund steuert dann ein x bei. Jetzt kommen wir zum Pascalschen Dreieck und sehen hoffentlich, dass es sich um sehr ähnliche Ideen handelt. Wir schauen uns denselben Term hier drüben an: xy². Ich stelle mir das Pascalsche Dreieck immer wie eine Karte vor. Das ist ein Knoten in der Karte, und ich frage mich, wie viele verschiedene Wege es gibt, um zu diesem Knoten auf der Karte zu gelangen. Ich könnte ein y² haben und es dann mit einem x multiplizieren. Da wir mit einem x multiplizieren, habe ich diese Linie orange gemalt. Ich könnte aber auch ein xy haben und es mit blau multiplizieren, es gibt zwei direkte Wege darüber, wie ich dort hinkommen kann, aber es gibt zwei Wege, um dorthin zu kommen, und einen, um zu diesem zu gelangen, also ist der kombinierte Weg, um hierher zu kommen 2 + 1 = 3. Ich hoffe, ich verdeutliche die Verbindung zwischen dem, was ich gerade gesagt habe, Was hier passiert, ist, dass, jedes Mal, wenn wir an einem dieser Knoten einen Weg auswählen, sagen wir quasi, dass wir ein x oder ein y von jedem dieser Ausdrücke auswählen. Wir haben die Ausdrücke nummeriert, also nummerieren wir sie jetzt hier. Das ist Ausdruck 1, das ist Ausdruck 2, das ist Ausdruck 3. Wir haben gesagt, dass es 3 Wege gibt, die uns hierher bringen, also zeichnen wir sie ein. Es gibt diesen Weg, dann gibt es diesen Weg hier drüben, der uns hierher bringt, und das ist der Weg, wenn wir das x von Ausdruck 1 wählen. Wir haben die linke Seite gewählt, dann gehen wir nach rechts. Wir wählen das y von Ausdruck 2, dann wählen wir das y von Ausdruck 3. Bei den letzten zwei wählen wir den rechten, blauen Weg. Das ist quasi ein Weg, wie wir 2 y's aus diesen 3 Ausdrücken wählen könnten. Nochmal: 1 Weg, um 2 y's aus 3 Ausdrücken auszuwählen. Aber uns interessiert nicht nur der eine Weg, sondern alle verschiedenen Wege. Das war ein Weg, ein anderer Weg wäre es, hier lang zu gehen. Wir wählen ein y vom ersten, ein x vom zweiten und ein y vom dritten Ausdruck. Oder wählen ein y vom ersten, ein y vom zweiten und ein x vom dritten Ausdruck. Auf einer fundamentalen, mathematischen Ebene löst es das exakt selbe Problem. Ich hoffe, das hilft dir zu verstehen, warum das Pascalsche Dreieck mit Kombinatorik verbunden ist, und warum beide nützlich sind, um binomische Entwicklungen zu finden.