Wir lernen, jede Potenz der imaginären Einheit i. zu vereinfachen. Vereinfache zum Beispiel i²⁷ zu -i.
Wir wissen, dass i=1i=\sqrt{-1} gilt und i2=1i^2=-1 ist.
Aber was ist i3i^3? i4i^4? Andere ganzzahlige Potenzen von ii? Wie berechnen wir diese?

Bestimme i3i^3 und i4i^4

Die Eigenschaften des Exponenten können uns hier helfen! Wenn wir die Potenz von ii berechnen, können wir die Eigenschaften des Exponenten anwenden, von denen wir wissen, dass sie im reelle Zahlensystem zutreffen, solange die Exponenten ganzzahlig sind.
Mit diesem Hintergrundwissen können wir Folgendes bestimmen i3i^3 und i4i^4.
Wir wissen, dass i3=i2ii^3=i^2\cdot i gilt. Aber da i2=1{i^2=-1} ist, sehen wir, dass:
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Ähnlich: i4=i2i2i^4=i^2\cdot i^2. Mit Hilfe der Tatsache, dass i2=1{i^2=-1}, bekommt man:
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Weitere Potenzen von ii

Aber wir machen noch weiter! Lass uns finden die nächsten 44 Potenz von ii mit einer ähnlichen Methode finden.
i5=i4i     Potenzregel=1iWeil i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4i2Potenzregel=1(1)Weil  and i4=1i2=1=1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ and $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4i3Potenzregel=1(i)Weil  and i4=1i3=i=i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ and $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4i4    Potenzregel=11Weil  i4=1=1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1

Ein auftauchendes Muster

Aus der Tabelle scheint es so zusein, dass die Potenzen von ii die Sequenz von i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i} und 1\goldD1 durchlaufen.
Könnenwir durch Verwendung dieses Musters wir i20i^{20} bestimmen? Probieren wir es!
Die folgende Liste zeigt die ersten 2020 Zahlen in der sich wiederholenden Abfolge.
\quadi\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1
Folgen wir dieser Logik sollte i20i^{20} gleich 1\goldD 1 sein. Wir können, ob wir dies mit Hilfe von Potenzieren bestätigen können. Beachte, dass wir hier die Potenzregel verwenden können, wie wir es mit reellen Zahlen machen!
i20=(i4)5Eigenschaften von Exponenten=(1)5i4=1=1Vereinfache\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Eigenschaften von Exponenten}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\end{aligned}
So oder so sehen wir das i20=1i^{20}=1.

Größere Potenzen von ii

Angenommen, wir wollten jetzt wir i138i^{138} bestimmen. Wir können die Sequenz i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1,... bis zum 138.138^\text{}. Term auflisten, aber das würde zu lange dauern!
Beachte aber, das i4=1i^4=1, i8=1i^8=1, i12=1i^{12}=1, usw. oder, in anderen Worten, dass ii hoch Vielfaches von 44 11 ist.
Wir können dies Tatsache zusammen mit den Eigenschaften der Exponenten verwenden um i138i^{138} vereinfachen.

Beispiel

Vereinfache i138i^{138}.

Lösung

Während 138138 kein Vielfaches von 4 ist, ist es die Zahl 136136 hingegen schon! Mit diesem Wissen können wir vereinfachen i138i^{138}.
i138=i136i2Potenzregel=(i434)i2136=434=(i4)34i2Potenzregel=(1)34i2i4=1=11i2=1=1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
i138=1i^{138}=-1.
Man könne sich fragen warum man i138i^{138} als i136i2i^{136}\cdot i^2 schreibt.
Wenn nun der ursprüngliche Exponent kein Vielfaches von 44 ist, dann können wir, indem wir das nächste Vielfache von 44 finden, die Potenz zu ii, i2i^2 oder i3i^3 vereinfachen, wobei wir i4=1i^4=1 ausnutzen.
Diese Zahl ist leicht zu bestimmen, in dem du den ursprünglichen Exponenten durch 44 teilst. Es ist nur der Quotient (ohne den Rest) mit 44 multipliziert.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Challenge Aufgabe

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