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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 2

Lektion 1: Was sind die imaginären Zahlen?

Potenz der imaginären Einheit

Wir lernen, jede Potenz der imaginären Einheit i. zu vereinfachen. Vereinfache zum Beispiel i²⁷ zu -i.

Wir wissen, dass

i = \sqrt{- 1}

gilt und

i^{2} = - 1

ist.

Aber was ist

i^{3}

i^{4}

? Andere ganzzahlige Potenzen von

i

? Wie berechnen wir diese?

Bestimme $i^{3}$ ‍ und $i^{4}$ ‍

Die Eigenschaften des Exponenten können uns hier helfen! Wenn wir die Potenz von

i

berechnen, können wir die Eigenschaften des Exponenten anwenden, von denen wir wissen, dass sie im reelle Zahlensystem zutreffen, solange die Exponenten ganzzahlig sind.

Mit diesem Hintergrundwissen können wir Folgendes bestimmen

i^{3}

und

i^{4}

Wir wissen, dass

i^{3} = i^{2} \cdot i

gilt. Aber da

i^{2} = - 1

ist, sehen wir, dass:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

Ähnlich:

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. Mit Hilfe der Tatsache, dass

i^{2} = - 1

, bekommt man:

$\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Weitere Potenzen von $i$ ‍

Aber wir machen noch weiter! Lass uns finden die nächsten

4

Potenz von

i

mit einer ähnlichen Methode finden.

$\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Potenzregel \\ = 1 \cdot i & Weil i^{4} = 1 \\ = i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Potenzregel \\ = 1 \cdot (- 1) & Weil i^{4} = 1 and i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Potenzregel \\ = 1 \cdot (- i) & Weil i^{4} = 1 and i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Potenzregel \\ = 1 \cdot 1 & Weil i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Ein auftauchendes Muster

Aus der Tabelle scheint es so zusein, dass die Potenzen von

i

die Sequenz von

i

- 1

- i

und

1

durchlaufen.

Könnenwir durch Verwendung dieses Musters wir

i^{20}

bestimmen? Probieren wir es!

Die folgende Liste zeigt die ersten

20

Zahlen in der sich wiederholenden Abfolge.

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

Folgen wir dieser Logik sollte

i^{20}

gleich

1

sein. Wir können, ob wir dies mit Hilfe von Potenzieren bestätigen können. Beachte, dass wir hier die Potenzregel verwenden können, wie wir es mit reellen Zahlen machen!

$\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Eigenschaften von Exponenten \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Vereinfache \end{aligned}$ ‍

So oder so sehen wir das

i^{20} = 1

Größere Potenzen von $i$ ‍

Angenommen, wir wollten jetzt wir

i^{138}

bestimmen. Wir können die Sequenz

i

- 1

- i

1

,... bis zum

138^{} .

Term auflisten, aber das würde zu lange dauern!

Beachte aber, das

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

, usw. oder, in anderen Worten, dass

i

hoch Vielfaches von $4$ ‍

1

ist.

Wir können dies Tatsache zusammen mit den Eigenschaften der Exponenten verwenden um

i^{138}

vereinfachen.

Beispiel

Vereinfache

i^{138}

Lösung

Während

138

kein Vielfaches von 4 ist, ist es die Zahl

136

hingegen schon! Mit diesem Wissen können wir vereinfachen

i^{138}

$\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Potenzregel \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Potenzregel \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

i^{138} = - 1

Man könne sich fragen warum man

i^{138}

als

i^{136} \cdot i^{2}

schreibt.

Wenn nun der ursprüngliche Exponent kein Vielfaches von

4

ist, dann können wir, indem wir das nächste Vielfache von

4

finden, die Potenz zu

i

i^{2}

oder

i^{3}

vereinfachen, wobei wir

i^{4} = 1

ausnutzen.

Diese Zahl ist leicht zu bestimmen, in dem du den ursprünglichen Exponenten durch

4

teilst. Es ist nur der Quotient (ohne den Rest) mit

4

multipliziert.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache $i^{227}$ ‍.

Aufgabe 2

Vereinfache $i^{2016}$ ‍.

Aufgabe 3

Vereinfache $i^{537}$ ‍.

Challenge Aufgabe

Welche der folgenden ist äquivalent zu $i^{- 1}$ ‍??

Eine einfache Möglichkeit das Problem anzugehen, ist das Muster zu verwenden und nach dem Muster zu erweitern.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Anstatt das Muster auf der rechten Seite zu erweitern (für Exponenten

> 1

), könnten wir auch darüber nachdenken das Muster auf der linken Seite (für Exponenten

< 1

) zu erweitern. Tatsächlich, da wir

i^{- 1}

wissen wollen, können wir die Sequenz nur um zwei Stellen nach links erweitern.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
	‍	‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Füllt man die Lücken auf, bekommt man:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Also ist

i^{- 1} = - i

Wir können dies auch algebraisch überprüfen mit Hilfe der Eigenschaften der Exponenten wie unten dargestellt:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i c h^{- 1} - i & = 1 \cdot i c h^{- 1} & Weil i^{3} = - i und i c h^{4} = 1 - i & = i^{- 1} \end{aligned}$ ‍

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