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Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 2
Lektion 1: Was sind die imaginären Zahlen?- Einführung in die imaginären Zahlen
- Einführung in die imaginären Zahlen
- Wurzeln von negativen Zahlen vereinfachen
- Wurzeln von negativen Zahlen vereinfachen
- Potenz der imaginären Einheit
- Potenz der imaginären Einheit
- Potenz der imaginären Einheit
- i als Hauptwurzel von -1
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Potenz der imaginären Einheit
Wir lernen, jede Potenz der imaginären Einheit i. zu vereinfachen. Vereinfache zum Beispiel i²⁷ zu -i.
Wir wissen, dass gilt und ist.
Aber was ist ? ? Andere ganzzahlige Potenzen von ? Wie berechnen wir diese?
Bestimme und
Die Eigenschaften des Exponenten können uns hier helfen! Wenn wir die Potenz von berechnen, können wir die Eigenschaften des Exponenten anwenden, von denen wir wissen, dass sie im reelle Zahlensystem zutreffen, solange die Exponenten ganzzahlig sind.
Mit diesem Hintergrundwissen können wir Folgendes bestimmen und .
Wir wissen, dass gilt. Aber da ist, sehen wir, dass:
Ähnlich: . Mit Hilfe der Tatsache, dass , bekommt man:
Weitere Potenzen von
Aber wir machen noch weiter! Lass uns finden die nächsten Potenz von mit einer ähnlichen Methode finden.
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.
Ein auftauchendes Muster
Aus der Tabelle scheint es so zusein, dass die Potenzen von die Sequenz von , , und durchlaufen.
Könnenwir durch Verwendung dieses Musters wir bestimmen? Probieren wir es!
Die folgende Liste zeigt die ersten Zahlen in der sich wiederholenden Abfolge.
Folgen wir dieser Logik sollte gleich sein. Wir können, ob wir dies mit Hilfe von Potenzieren bestätigen können. Beachte, dass wir hier die Potenzregel verwenden können, wie wir es mit reellen Zahlen machen!
So oder so sehen wir das .
Größere Potenzen von
Angenommen, wir wollten jetzt wir bestimmen. Wir können die Sequenz , , , ,... bis zum Term auflisten, aber das würde zu lange dauern!
Beachte aber, das , , , usw. oder, in anderen Worten, dass hoch Vielfaches von ist.
Wir können dies Tatsache zusammen mit den Eigenschaften der Exponenten verwenden um vereinfachen.
Beispiel
Vereinfache .
Lösung
Während kein Vielfaches von 4 ist, ist es die Zahl hingegen schon! Mit diesem Wissen können wir vereinfachen .
Man könne sich fragen warum man als schreibt.
Wenn nun der ursprüngliche Exponent kein Vielfaches von ist, dann können wir, indem wir das nächste Vielfache von finden, die Potenz zu , oder vereinfachen, wobei wir ausnutzen.
Diese Zahl ist leicht zu bestimmen, in dem du den ursprünglichen Exponenten durch teilst. Es ist nur der Quotient (ohne den Rest) mit multipliziert.
Wir lösen einige Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Challenge Aufgabe
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