If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 2

Lektion 1: Was sind die imaginären Zahlen?
Mathematik
Algebra 2
Komplexe Zahlen
Was sind die imaginären Zahlen?
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung

Potenz der imaginären Einheit

Google Classroom
Wir lernen, jede Potenz der imaginären Einheit i. zu vereinfachen. Vereinfache zum Beispiel i²⁷ zu -i.
Wir wissen, dass i=−1 gilt und i2=−1 ist.
Aber was ist i3? i4? Andere ganzzahlige Potenzen von i? Wie berechnen wir diese?

Bestimme i3 und i4

Die Eigenschaften des Exponenten können uns hier helfen! Wenn wir die Potenz von i berechnen, können wir die Eigenschaften des Exponenten anwenden, von denen wir wissen, dass sie im reelle Zahlensystem zutreffen, solange die Exponenten ganzzahlig sind.
Mit diesem Hintergrundwissen können wir Folgendes bestimmen i3 und i4.
Wir wissen, dass i3=i2⋅i gilt. Aber da i2=−1 ist, sehen wir, dass:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
Ähnlich: i4=i2⋅i2. Mit Hilfe der Tatsache, dass i2=−1, bekommt man:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

Weitere Potenzen von i

Aber wir machen noch weiter! Lass uns finden die nächsten 4 Potenz von i mit einer ähnlichen Methode finden.
i5=i4⋅i     Potenzregel=1⋅iWeil i4=1=i
i6=i4⋅i2Potenzregel=1⋅(−1)Weil i4=1 and i2=−1=−1
i7=i4⋅i3Potenzregel=1⋅(−i)Weil i4=1 and i3=−i=−i
i8=i4⋅i4    Potenzregel=1⋅1Weil i4=1 =1
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

Ein auftauchendes Muster

Aus der Tabelle scheint es so zusein, dass die Potenzen von i die Sequenz von i, −1, −i und 1 durchlaufen.
Könnenwir durch Verwendung dieses Musters wir i20 bestimmen? Probieren wir es!
Die folgende Liste zeigt die ersten 20 Zahlen in der sich wiederholenden Abfolge.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
Folgen wir dieser Logik sollte i20 gleich 1 sein. Wir können, ob wir dies mit Hilfe von Potenzieren bestätigen können. Beachte, dass wir hier die Potenzregel verwenden können, wie wir es mit reellen Zahlen machen!
i20=(i4)5Eigenschaften von Exponenten=(1)5i4=1=1Vereinfache
So oder so sehen wir das i20=1.

Größere Potenzen von i

Angenommen, wir wollten jetzt wir i138 bestimmen. Wir können die Sequenz i, −1, −i, 1,... bis zum 138. Term auflisten, aber das würde zu lange dauern!
Beachte aber, das i4=1, i8=1, i12=1, usw. oder, in anderen Worten, dass i hoch Vielfaches von 4 1 ist.
Wir können dies Tatsache zusammen mit den Eigenschaften der Exponenten verwenden um i138 vereinfachen.

Beispiel

Vereinfache i138.

Lösung

Während 138 kein Vielfaches von 4 ist, ist es die Zahl 136 hingegen schon! Mit diesem Wissen können wir vereinfachen i138.
i138=i136⋅i2Potenzregel=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Potenzregel=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
i138=−1.
Man könne sich fragen warum man i138 als i136⋅i2 schreibt.
Wenn nun der ursprüngliche Exponent kein Vielfaches von 4 ist, dann können wir, indem wir das nächste Vielfache von 4 finden, die Potenz zu i, i2 oder i3 vereinfachen, wobei wir i4=1 ausnutzen.
Diese Zahl ist leicht zu bestimmen, in dem du den ursprünglichen Exponenten durch 4 teilst. Es ist nur der Quotient (ohne den Rest) mit 4 multipliziert.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache i227.

Aufgabe 2

Vereinfache i2016.

Aufgabe 3

Vereinfache i537.

Challenge Aufgabe

Welche der folgenden ist äquivalent zu i−1??
Wähle eine Lösung.

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden
Noch keine Beiträge.
Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.