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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 2

Lektion 1: Was sind die imaginären Zahlen?
Mathematik
Algebra 2
Komplexe Zahlen
Was sind die imaginären Zahlen?
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Einführung in die imaginären Zahlen

Google Classroom
Lerne über die imaginäre Einheit i, über imaginäre Zahlen und über der Quadratwurzel von negativen Zahlen.
Während Du Dir mit Mathematik beschäftigt hast, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass einige quadratische Gleichungen keine Lösungen mit reelle Zahl haben.
Mann kann es versuchen, so oft man will, aber man wird nie eine reelle Zahl als Lösung für die Gleichung x2=−1 finden, da es unmöglich ist, eine reelle Zahl zu quadrieren und eine negative Zahl bekommen!
Aber die Lösung der Gleichung x2=−1 existiert in einem neuen Zahlensystem, dem komplexen Zahlensystem.

Die imaginäre Einheit

Das Rückgrat dieses neue Zahlensystem ist die imaginäre Einheit oder die Imaginärzahl i.
Der folgende Aussage über die Zahl i ist wahr:
  • i=−1
  • i2=−1
Die zweite Eigenschaft zeigt uns, dass die Zahl i in der Tat eine Lösung für die Gleichung x2=−1 ist. Die früher unlösbare Gleichung ist jetzt lösbar mit Hilfe der imaginären Einheit!

Rein imaginäre Zahlen

Die Zahl i ist keineswegs allein! Mit einem Vielfachen dieser imaginären Einheit können wir unendlich viele weitere rein imaginäre Zahlen schaffen.
Zum Beispiel sind 3i, i5 und −12i alles Beispiele für rein imaginäre Zahlen oder Zahlen der Form bi, bei der b eine von Null verschiedene reelle Zahl ist.
Die Quadrate dieser Zahlen beleuchten ihre Verbindung zu den reellen Zahlen. Wir untersuchen dies durch Quadrieren der Zahl 3i. Die Eigenschaften der ganzzahligen Exponenten bleiben gleich, deshalb können wir 3i wie gewohnt quadrieren.
(3i)2=32i2=9i2
Mittels der Tatsache i2=−1 können wir dies weiter vereinfachen.
(3i)2=9i2=9(−1)=−9
Die Tatsache, dass (3i)2=−9 bedeutet, dass 3i eine Quadratwurzel von −9 ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Was ist (4i)2?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Welche der folgenden Zahlen ist eine Quadratwurzel von −16?
Wähle eine Lösung.

Auf diese Weise können wir sehen, dass rein imaginäre Zahlen die Quadratwurzeln von negativen Zahlen sind!

Vereinfachung von rein imaginären Zahlen

Die Tabelle unten zeigen Beispiele von rein imaginäre Zahlen in beide unvereinfachter und vereinfachter Form.
unvereinfachte Formvereinfachte Form
−93i
−5i5
−−144−12i
Aber wie vereinfachen wir diese rein imaginären Zahlen?
Werfen wir einen genaueren Blick auf das erste Beispiel und wir sehen, ob wir die Vereinfachung durch denken können.
Ursprüngliche GleichungDenk Prozess
−9=3iDie Quadratwurzel von −9 ist eine imaginäre Zahl. Die Quadratwurzel von 9 ist 3. Also ist die Quadratwurzel von minus 9 3 imaginäre Einheiten oder 3i.
Die folgende Eigenschaft erklärt den oben genannten ,,Denk Prozess'' in mathematischer Form.
Füra>0 gilt −a=ia
Wenn wir dies mit dem verbinden, was wir schon über radikale Vereinfachung wissen, können wir alle rein imaginären Zahlen vereinfachen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel

Vereinfache −18.

Lösung

Zunächst stellen wir fest, dass −18 eine imaginäre Zahl ist, da es die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist. Also können wir −18 zu i18 umformen.
Als nächstes können wir 18 vereinfachen in dem wir annehmen, was wir schon über die Vereinfachung von Radikalen wissen.
Die Aufgabe ist unten dargestellt.
−18=i18Für a>0, −a=ia ist=i⋅9⋅29 ist eine Quadratzahl und ein Faktor von 18=i9⋅2ab=a⋅b wenn a,b≥0ist=i⋅3⋅29=3=3i2Multiplikation ist kommutativ
Es folgt, dass −18=3i2.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache −25.

Aufgabe 2

Vereinfache −10.

Aufgabe 3

Vereinfache −24.

Warum verwenden wir überhaupt imaginäre Zahlen?

Die Antwort ist einfach. Die imaginäre Einheit i erlaubt uns Lösungen für viele Gleichungen zu finden, die keine reellen Lösungen haben.
Das ist vielleicht seltsam, aber es ist tatsächlich sehr häufig, dass Gleichungen in einem Zahlensystem unlösbar sind, in einem anderen, allgemeinere Zahlensystem lösbar sind.
Hier sind einige Beispiele bei denen du vielleicht mehr weißt.
  • Nur mit den natürlichen Zahlen können wir x+8=1 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die ganzen Zahlen!
  • Nur mit den ganzen Zahlen können wir 3x−1=0 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die rationalen Zahlen!
  • Mit den rationalen Zahlen alleine können wir x2=2 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die irrationalen Zahlen und das reelle Zahlensystem!
Lässt sich x2=−1 nicht nur mit den reellen Zahlen lösen. Dafür brauchen wir die imaginären Zahlen.
Wenn du weiter Mathematik lernst, wirst du sehen, dass wie wichtig diese Zahlen sind.

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