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Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 2
Lesson 1: Was sind die imaginären Zahlen?- Einführung in die imaginären Zahlen
- Einführung in die imaginären Zahlen
- Wurzeln von negativen Zahlen vereinfachen
- Wurzeln von negativen Zahlen vereinfachen
- Potenz der imaginären Einheit
- Potenz der imaginären Einheit
- Potenz der imaginären Einheit
- i als Hauptwurzel von -1
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Einführung in die imaginären Zahlen
Lerne über die imaginäre Einheit i, über imaginäre Zahlen und über der Quadratwurzel von negativen Zahlen.
Während Du Dir mit Mathematik beschäftigt hast, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass einige quadratische Gleichungen keine Lösungen mit reelle Zahl haben.
Mann kann es versuchen, so oft man will, aber man wird nie eine reelle Zahl als Lösung für die Gleichung x, squared, equals, minus, 1 finden, da es unmöglich ist, eine reelle Zahl zu quadrieren und eine negative Zahl bekommen!
Aber die Lösung der Gleichung x, squared, equals, minus, 1 existiert in einem neuen Zahlensystem, dem komplexen Zahlensystem.
Die imaginäre Einheit
Das Rückgrat dieses neue Zahlensystem ist die imaginäre Einheit oder die Imaginärzahl i.
Der folgende Aussage über die Zahl i ist wahr:
Die zweite Eigenschaft zeigt uns, dass die Zahl i in der Tat eine Lösung für die Gleichung x, squared, equals, minus, 1 ist. Die früher unlösbare Gleichung ist jetzt lösbar mit Hilfe der imaginären Einheit!
Rein imaginäre Zahlen
Die Zahl i ist keineswegs allein! Mit einem Vielfachen dieser imaginären Einheit können wir unendlich viele weitere rein imaginäre Zahlen schaffen.
Zum Beispiel sind 3, i, i, square root of, 5, end square root und minus, 12, i alles Beispiele für rein imaginäre Zahlen oder Zahlen der Form b, i, bei der b eine von Null verschiedene reelle Zahl ist.
Die Quadrate dieser Zahlen beleuchten ihre Verbindung zu den reellen Zahlen. Wir untersuchen dies durch Quadrieren der Zahl 3, i. Die Eigenschaften der ganzzahligen Exponenten bleiben gleich, deshalb können wir 3, i wie gewohnt quadrieren.
Mittels der Tatsache i, squared, equals, minus, 1 können wir dies weiter vereinfachen.
Die Tatsache, dass left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 bedeutet, dass 3, i eine Quadratwurzel von minus, 9 ist.
Überprüfe, ob du es verstanden hast
Auf diese Weise können wir sehen, dass rein imaginäre Zahlen die Quadratwurzeln von negativen Zahlen sind!
Vereinfachung von rein imaginären Zahlen
Die Tabelle unten zeigen Beispiele von rein imaginäre Zahlen in beide unvereinfachter und vereinfachter Form.
unvereinfachte Form | vereinfachte Form |
---|---|
square root of, minus, 9, end square root | 3, i |
square root of, minus, 5, end square root | i, square root of, 5, end square root |
minus, square root of, minus, 144, end square root | minus, 12, i |
Aber wie vereinfachen wir diese rein imaginären Zahlen?
Werfen wir einen genaueren Blick auf das erste Beispiel und wir sehen, ob wir die Vereinfachung durch denken können.
Ursprüngliche Gleichung | Denk Prozess |
---|---|
Die Quadratwurzel von minus, 9 ist eine imaginäre Zahl. Die Quadratwurzel von 9 ist 3. Also ist die Quadratwurzel von minus 9 start text, 3, end text imaginäre Einheiten oder 3, i. |
Die folgende Eigenschaft erklärt den oben genannten ,,Denk Prozess'' in mathematischer Form.
Füra, is greater than, 0 gilt square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Wenn wir dies mit dem verbinden, was wir schon über radikale Vereinfachung wissen, können wir alle rein imaginären Zahlen vereinfachen. Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel
Vereinfache square root of, minus, 18, end square root.
Lösung
Zunächst stellen wir fest, dass square root of, minus, 18, end square root eine imaginäre Zahl ist, da es die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist. Also können wir square root of, minus, 18, end square root zu i, square root of, 18, end square root umformen.
Als nächstes können wir square root of, 18, end square root vereinfachen in dem wir annehmen, was wir schon über die Vereinfachung von Radikalen wissen.
Die Aufgabe ist unten dargestellt.
Es folgt, dass square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.
Wir lösen einige Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Warum verwenden wir überhaupt imaginäre Zahlen?
Die Antwort ist einfach. Die imaginäre Einheit i erlaubt uns Lösungen für viele Gleichungen zu finden, die keine reellen Lösungen haben.
Das ist vielleicht seltsam, aber es ist tatsächlich sehr häufig, dass Gleichungen in einem Zahlensystem unlösbar sind, in einem anderen, allgemeinere Zahlensystem lösbar sind.
Hier sind einige Beispiele bei denen du vielleicht mehr weißt.
- Nur mit den natürlichen Zahlen können wir x, plus, 8, equals, 1 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die ganzen Zahlen!
- Nur mit den ganzen Zahlen können wir 3, x, minus, 1, equals, 0 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die rationalen Zahlen!
- Mit den rationalen Zahlen alleine können wir x, squared, equals, 2 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die irrationalen Zahlen und das reelle Zahlensystem!
Lässt sich x, squared, equals, minus, 1 nicht nur mit den reellen Zahlen lösen. Dafür brauchen wir die imaginären Zahlen.
Wenn du weiter Mathematik lernst, wirst du sehen, dass wie wichtig diese Zahlen sind.
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