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Wurzeln von negativen Zahlen vereinfachen

Video-Transkript

Wir sollen die traditionelle Quadratwurzel von -52 vereinfachen. Und wir nehmen an, da wir -52 unter der Wurzel stehen haben, dass es sich um die traditionelle Version einer komplexen Quadratwurzel-Funktion handelt, und dass wir negative Zahlen in den Definitionsbereich dieser Funktion einsetzen können. Und dass wir imaginäre oder komplexe Ergebnisse erhalten können. Wir können also -52 in -1 ⋅ 52 umschreiben. Das kann also in √((-1) ⋅ (52)) umgeschrieben werden. Und dann, wenn wir annehmen, dass es sich um die traditionelle Version einer komplexen Quadratwurzel-Funktion handelt, können wir das umschreiben. Das ergibt die traditionelle Quadratwurzel von -1 ⋅ der traditionellen Quadratwurzel von 52, also √-1 ⋅ √52. Ich muss das betonen: Du kannst so vorgehen, wie wir es eben gemacht haben. Wenn wir die traditionelle Quadratwurzel eines Produkts zweier Dinge haben, können wir das in die traditionelle Quadratwurzel jedes einzelnen Werts umschreiben, und dann das Produkt davon nehmen. Das kannst du aber nur tun, wenn entweder beide dieser Zahlen positiv, oder nur eine davon negativ ist. Sind beide Zahlen negativ, kannst du das nicht tun. Zum Beispiel kannst du nicht sagen, dass √52 = √((-1) ⋅ (-52)) ist. Bis hierhin wäre es noch korrekt, ich habe nichts Falsches gesagt. 52 ist definitiv -1 ⋅ (-52). Aber dann, weil beide negativ sind, kannst du nicht sagen, dass das gleich √(-1) ⋅ √(-52) ist. Versuche mal, diese Gleichung fortzuführen, du wirst ein unsinniges Ergebnis erhalten. Das ist nicht okay. Das hier drüben darfst du nicht machen. Und zwar deshalb, weil diese Eigenschaft nicht funktioniert, wenn beide Zahlen negativ sind. Wir können sie natürlich aber anwenden, wenn nur eine negativ oder beide Zahlen positiv sind. Die traditionelle Quadratwurzel von -1, wenn wir über die traditionelle Version der komplexen Quadratwurzel-Funktion reden, ist i. Das hier lässt sich also zu i vereinfachen. Denken wir darüber nach, ob wir √52 vereinfachen können. Um das zu tun, denken wir über die Primfaktorzerlegung nach, um zu sehen, ob wir eine perfekte Quadratzahl darin haben. 52 = 2 ⋅ 26, 26 = 2 ⋅ 13. Wir haben also 2 ⋅ 2, bzw. 4 hier, was eine perfekte Quadratzahl ist. Das ergibt also... Wir haben hier jetzt unser i. Die traditionelle Quadratwurzel von -1 ist i. Die andere Quadratwurzel von -1 ist -i. Aber die traditionelle Quadratwurzel von -1 ist i. Und dann multiplizieren wir das mit √(4 ⋅ 13). Und das ergibt i ⋅ √4 ⋅ √13. Die traditionelle Quadratwurzel von 4 ist 2. Das alles wird also vereinfacht und wir können die Reihenfolge hier ändern: Es ergibt 2 ⋅ √13 ⋅ i. Ich habe nur die Reihenfolge geändert. Es ist einfacher zu lesen, wenn i hinter den Zahlen steht. Aber ich multipliziere einfach i ⋅ 2 ⋅ √13. Das ist dasselbe, wie wenn ich 2 ⋅ √13 ⋅ i rechne. Und weiter können wir nicht vereinfachen.