If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:6:44

Video-Transkript

In deiner mathematischen Laufbahn begegnest du vielleicht Leuten, die sagen, dass es nicht stimmt, dass i = √-1 ist. Und wenn du fragst, warum es nicht stimmt, präsentieren sie dir die folgende Logik, die eigentlich sehr vernünftig aussieht. Sie sagen dir, dass wir mit -1 anfangen. Wir wissen von der Definition, dass -1 = i ⋅ i ist. Das ist noch ziemlich einfach. Und dann sagen sie, dass wenn du diesen Teil hier annimmst, dann können wir jedes i durch √-1 ersetzen. Und das stimmt auch. Das wäre also dasselbe wie √-1 ⋅ √-1. Und dann würden sie dir sagen, dass durch die Eigenschaften einer traditionellen Quadratwurzelfunktion √(a ⋅ b) dasselbe ist wie √a ⋅ √b. Wenn du also √a ⋅ √b hast, ist es dasselbe wie √(a ⋅ b). Basierend auf dieser Eigenschaft der Wurzel sagen sie, dass das hier drüben dasselbe ist wie √(-1⋅ (-1)). Wenn ich die Wurzel eines Produkts zweier Werte habe, ist das dasselbe wie das Produkt der beiden Wurzeln. Hier ist es andersherum. Hier habe ich die Wurzel des Produkts, hier habe ich das auf der rechten Seite. Und hier wissen wir, dass -1 ⋅ (-1) = 1 ist. Also sollte das √1 ergeben. Denk dran: Dieses Zeichen √ steht für die positive Quadratwurzel, das ergibt also 1. Und dann sagen sie dir, dass das falsch ist, weil -1 und 1 eindeutig nicht dasselbe sind. Und sie sagen, dass man deswegen nicht die Substitution in diesem Schritt machen kann. Und du solltest dann antworten, dass das kein falscher Schritt war. Dass es wahr ist, dass -1 ≠ 1 ist, aber der Fehler war, diese Eigenschaft anzuwenden, wenn sowohl a als auch b negativ sind. Wenn sowohl a, als auch b negativ sind, stimmt das hier nicht. a und b dürfen nicht beide negativ sind. Normalerweise, wenn diese Eigenschaft angewandt wird, wird sie in den Fußnoten angegeben, wo du sie vielleicht nicht einmal bemerkst, weil sie nicht relevant ist, wenn du sie zum ersten Mal lernst, aber normalerweise gibt es eine Einschränkung. Meistens wird auf a, b ≥ 0 beschränkt. Hier wird die Eigenschaft gezeigt, und hier die Beschränkung für a, b ≥ 0. Und es ist besonders falsch, wenn a und b beide negativ sind. Die letzten 3 Minuten habe ich gesagt, dass die Leute, die sagen, dass es nicht stimmt, falsch liegen. Aber du musst trotzdem etwas vorsichtig sein, wenn wir traditionelle Quadratwurzeln ziehen. Wenn du z.B. die Quadratwurzel von 4 ziehst, wissen wir, dass es 2 ergibt. Aber 4 hat eigentlich zwei Quadratwurzeln. -2 ist ebenfalls eine Quadratwurzel von 4. Wenn du -2 ⋅ (-2) rechnest, ergibt es ebenfalls 4. Dieses √ Zeichen bedeutet traditionelle Quadratwurzel. Wenn wir nur reale, nicht-imaginäre, nicht-komplexe Zahlen haben, könntest du sie auch als positive Quadratwurzel betrachten. Das hat zwei Quadratwurzeln: 2 und -2. Wenn du das √-Zeichen hier hast, bedeutet es, die positive Wurzel von 4, also 2. Wenn du über das Ziehen der Quadratwurzeln von negativen Zahlen nachdenkst, oder in der Zukunft, wenn wir imaginäre und komplexe Zahlen behandeln, musst du die Definition von dem erweitern, was dieses √-Zeichen bedeutet. Wenn du also die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehst, bedeutet das, dass das nicht mehr die traditionelle Quadratwurzel-Funktion ist. Du hast dann eine komplexe Quadratwurzel-Funktion, die für komplexe Inputs bzw. den Definitionsbereich definiert ist, sie kann auch imaginäre oder komplexe Outputs generieren, die auch Zielmengen genannt werden. Wenn du davon ausgehst, weißt du direkt, dass √-x = i ⋅ √x ist. Ich will das deutlich machen, denn ich habe dir gerade gesagt, dass das nicht stimmt, wenn a und b beide negativ sind. Wir können das nur anwenden, wenn x ≥ 0 ist. Wenn x ≥ 0, dann ist -x eindeutig eine negative Zahl oder 0. Es ist eine negative Zahl. Und dann können wir das hier anwenden. Wenn x ≤ 0 wäre, würden wir all diese Dinge hier oben anwenden, und unsinnige Ergebnisse erhalten. Und wenn du es so betrachtest, dass i = √-1 sein kann, wenn es sich um die traditionelle Wurzel der komplexen Quadratwurzel-Funktion handelt, könntest du das hier umschreiben, sodass dann √-1 ⋅ √x dort steht. Das wirkliche Problem in der Logik, wenn Leute sagen, dass -1 nicht gleich 1 sein kann, liegt darin, diese Eigenschaft anzuwenden, wenn sowohl a als auch b negative Zahlen sind. Denn da kommt etwas eindeutig Falsches dabei raus. Wenn du deine Definition der traditionellen oder der komplexen Wurzel erweiterst, sodass sie negative und imaginäre Zahlen im Definitionsbereich enthält, dann kannst du das tun. Du kannst sagen, dass die traditionelle Quadratwurzel von -x dasselbe wie die traditionelle Quadratwurzel von -1 mal die traditionelle Quadratwurzel von x für x ≥ 0 ist. Ich will dich nicht verwirren, wenn x ≥ 0, dann ist dieses -x eindeutig eine negative bzw. nicht-positive Zahl.