Exponentialgleichungen mit Logarithmen lösen: Basis 2

Wir haben die Funktion y = 5 ⋅ 2^t. Wir sollen jetzt herausfinden, bei welchem t-Wert diese Funktion bzw. y = 1.111 ergibt. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und selbst darüber nachzudenken. Bei welchem t-Wert wird y ungefähr 1.111 ergeben? Du darfst einen Taschenrechner benutzen, wenn du ihn brauchst. Ich nehme mal an, du hast es versucht. Jetzt lösen wir es gemeinsam. Wir fragen uns, wann 5 ⋅ 2^t = 1.111 ergibt. 5 ⋅ 2^t = 1.111. Wenn wir algebraisch arbeiten, ist es immer hilfreich, die Variable zu isolieren, nach der wir auflösen wollen. Wir wollen herausfinden, welcher t-Wert dafür sorgt, dass wir das hier erhalten. Als erstes wollen wir die 5 links loswerden, also dividieren wir die linke Seite durch 5. Wenn wir wollen, dass das eine Gleichung bleibt, müssen wir dasselbe auch rechts machen. Wir erhalten 2^t = (1.111/5). Wie lösen wir jetzt nach t auf? Welche Funktion ist quasi die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion? Es ist der Logarithmus. Wenn wir sagen, dass a^b = c ist, bedeutet das, dass log_a (c) = b ist. a^b = c. log_a (c) sagt aus, welchen Exponenten a braucht, damit wir c erhalten. a braucht b als Exponenten, damit wir c erhalten. a^b = c. Diese beiden sind gleichwertige Aussagen. Wir nehmen log_2 von beiden Seiten dieser Gleichung. Links haben wir log_2 (2^t). Rechts haben wir log_2 (1.111/5). Was bringt uns das hier? Es sagt uns, welchen Exponenten 2 haben muss, damit wir 2^t erhalten. Um 2^t zu erhalten, muss die 2 natürlich t im Exponenten haben. Das hier wird nur zu t vereinfacht. Auf der rechten Seite haben wir log_2 und all das hier. t = log_2 (1.111/5). Das ist ein Ausdruck, der uns unseren t-Wert gibt. Die nächste Frage ist: Wie finden wir das Ergebnis heraus? Wenn du deinen Taschenrechner anschaust, siehst du, dass es keine log_2-Taste gibt. Wie berechnen wir das also? Wir müssen nur eine sehr nützliche Exponenteneigenschaft anwenden. Wenn wir log_a (c) haben, können wir es als log_x (c) / log_x (a) schreiben. Die Basen müssen nur dieselben sein. Unser Taschenrechner hat eine log-Taste, die für die Logarithmus-Basis 10 steht. Die ln-Taste steht für den natürlichen Logarithmus mit der Basis e. Ich nehme einfach die Basis 10, also ist es dasselbe wie (log_10 (1.111/5)) / (log_10 (2)). Wir könnten auch den natürlichen Logarithmus log_e verwenden, aber ich nehme einfach die log-Taste. Wir haben also log(1.111/5), das ist dieser Teil hier. Wenn wir nur log schreiben, steht es immer für log_10. Dann dividieren wir durch log(2), und erhalten ungefähr 7,796 als Ergebnis. Das ist also ungefähr 7,796. Wenn t also ungefähr diesen Wert annimmt, erhalten wir y = 1.111.