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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 8

Lektion 5: Lösung von Exponentialgleichungen mit Logarithmen
Mathematik
Algebra 2
Exponenten und Logarithmen
Lösung von Exponentialgleichungen mit Logarithmen
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Exponentielle Gleichungen mithilfe von Logarithmen lösen

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Lerne wie man jede exponentielle Gleichung der Form a⋅b^(cx)=d lösen kann. Zum Beispiel, löse 6⋅10^(2x)=48.
Der Schlüssel zur Lösung von exponentiellen Gleichungen liegt in den Logarithmen! Schau dir dies näher an, indem du einige Beispiele durcharbeitest.

Exponentieller Gleichungen der Form a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Beispiel

Löse 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.

Lösung

Um nach x aufzulösen, müssen wir zuerst den exponentiellen Teil isolieren. Um dies zu tun, teile beide Seiten durch 5, wie unten gezeigt wird. Wir multiplizieren nicht mit 5 und 2, weil dies der Reihenfolge der Operationen widerspricht!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \\ \end{aligned}
Jetzt können wir durch die Umstellung der Gleichung auf logarithmischen Form für x lösen.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 ist äquivalent mit log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
Und schon haben wir die Gleichung gelöst! Die Lösung ist exakt x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Weil 48 rationale Potenz von 2 ist, müssen wir die Regel zum Basiswechsel und unseren Taschenrechner verwenden um die Logarithmus auszuwerten. Dies ist unten dargestellt.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)A¨nderung der Basisregel≈5,585mit dem Taschenrechner auswerten\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Änderung der Basisregel}}}\\\\\\ &\approx 5{,}585 &&\small{\gray{\text{mit dem Taschenrechner auswerten}}}\end{aligned}
Die approximative Lösung, gerundet auf Tausendstel, ist x, approximately equals, 5, comma, 585.

Überprüfe dein Verständnis

1) Was ist die Lösung von 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Wähle eine Lösung.

2) Löse 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
t, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

3) Löse 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Exponentieller Gleichungen der Form a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel

Löse 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48

Lösung

Wir fangen wieder damit, den exponentiellen Teil zu isolieren indem wir beide Seiten durch 6 teilen.
6⋅102x=48102x=8 
Als nächstes können wir den Exponent nach vorne ziehen, indem wir den Ausdruck in die logarithmische Form umwandeln.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \\\\ \end{aligned}
Schließlich können wir beide Seiten durch 2 teilen um die Gleichung nach x aufzulösen.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Das ist die exakte Antwort. Um die Antwort auf die Tausendstel zu approximieren können wir dies direkt in den Taschenrechner eingeben. Beachte hier, dass du nicht die Basis zu wechseln brauchst, weil es schon Basis 10 ist.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452mit dem Taschenrechner auswerten\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2}\\\\\\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&\small{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\\\ &\approx 0{,}452 &&\small{\gray{\text{mit dem Taschenrechner auswerten}}}\end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

4) Welche der folgenden Ausdrücke sind die Lösung der Gleichung 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Wähle eine Lösung.

5) Löse 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

6) Löse minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, comma, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
z, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challenge Aufgabe

Welche der folgenden Ausdrücke sind die Lösung der Gleichung left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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