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Exponentielle Gleichungen mithilfe von Logarithmen lösen

Lerne wie man jede exponentielle Gleichung der Form a⋅b^(cx)=d lösen kann. Zum Beispiel, löse 6⋅10^(2x)=48.
Der Schlüssel zur Lösung von exponentiellen Gleichungen liegt in den Logarithmen! Schau dir dies näher an, indem du einige Beispiele durcharbeitest.

Exponentieller Gleichungen der Form abx=d

Beispiel

Löse 52x=240.

Lösung

Um nach x aufzulösen, müssen wir zuerst den exponentiellen Teil isolieren. Um dies zu tun, teile beide Seiten durch 5, wie unten gezeigt wird. Wir multiplizieren nicht mit 5 und 2, weil dies der Reihenfolge der Operationen widerspricht!
52x=2402x=48
Jetzt können wir durch die Umstellung der Gleichung auf logarithmischen Form für x lösen.
2x=48 ist äquivalent mit log2(48)=x.
Und schon haben wir die Gleichung gelöst! Die Lösung ist exakt x=log2(48).
Weil 48 rationale Potenz von 2 ist, müssen wir die Regel zum Basiswechsel und unseren Taschenrechner verwenden um die Logarithmus auszuwerten. Dies ist unten dargestellt.
x=log2(48)=log(48)log(2)Änderung der Basisregel5,585mit dem Taschenrechner auswerten
Die approximative Lösung, gerundet auf Tausendstel, ist x5,585.

Überprüfe dein Verständnis

1) Was ist die Lösung von 26x=236?
Wähle eine Lösung.

2) Löse 53t=20.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
t=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

3) Löse 6ey=300.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
y=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Exponentieller Gleichungen der Form abcx=d

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel

Löse 6102x=48

Lösung

Wir fangen wieder damit, den exponentiellen Teil zu isolieren indem wir beide Seiten durch 6 teilen.
6102x=48102x=8 
Als nächstes können wir den Exponent nach vorne ziehen, indem wir den Ausdruck in die logarithmische Form umwandeln.
log10(8)=2x
Schließlich können wir beide Seiten durch 2 teilen um die Gleichung nach x aufzulösen.
x= log10(8)2
Das ist die exakte Antwort. Um die Antwort auf die Tausendstel zu approximieren können wir dies direkt in den Taschenrechner eingeben. Beachte hier, dass du nicht die Basis zu wechseln brauchst, weil es schon Basis 10 ist.
x= log10(8)2= log(8)2log10(x)=log(x)0,452mit dem Taschenrechner auswerten

Überprüfe dein Verständnis

4) Welche der folgenden Ausdrücke sind die Lösung der Gleichung 3104t=522?
Wähle eine Lösung.

5) Löse 452x=300.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
x=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

6) Löse 230,2z=400.
Runde deine Antwort auf das nächste Tausendstel.
z=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Challenge Aufgabe

Welche der folgenden Ausdrücke sind die Lösung der Gleichung (2x3)(2x4)=0?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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