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"Löse die Gleichungen im Verbund - wähle deinen Weg." "Löse die Gleichungen im Verbund - wähle deinen Weg." Unsere erste Gleichung lautet: y = 2 (x-4)² + 3 Unsere erste Gleichung lautet: y = 2 (x-4)² + 3 Unsere zweite Gleichung lautet: y = -x² + 2x -2 Unsere zweite Gleichung lautet: y = - x² + 2x - 2 Beachte: Es kann keine, eine oder mehrere Lösungen geben. Die Gleichungen werden also gelöst, wenn wir dasselbe "x" finden, das dann jeweils das gleiche "y" ergibt. Also müssen die Werte "y" und "x" für beide Gleichungen gleich sein. Also müssen die Werte "y" und "x" für beide Gleichungen gleich sein. Also müssen die Werte "y" und "x" für beide Gleichungen gleich sein. Um also den Wert "x" ermitteln zu können, können wir die Werte "y"gleich setzen. Um also den Wert "x" ermitteln zu können, können wir die Werte "y"gleich setzen. Wenn also dieser Term - x + 2x - 2 hier gleich diesem Term 2(x-4)² + 2 ist, haben wie die Gleichungen gleich gesetzt. gleich diesem Term 2(x-4)² + 2 ist, haben wie die Gleichungen gleich gesetzt. gleich diesem Term 2(x-4)² + 2 ist, haben wie die Gleichungen gleich gesetzt. Lösen wir als Erstes die Klammer des rechten Terms auf. Lösen wir als Erstes die Klammer des rechten Terms auf. Der linke Term hat keine Klammer und bleibt erst mal, wie er ist. Der linke Term hat keine Klammer und bleibt erst mal wie er ist. Beim rechten Term lösen wir die Klammer (mit 2. binomischer Formel) entsprechend auf: So wird aus (x-4)² entsprechend (x² - 8x + 16) (den voran stehenden Faktor 2 und den Summand 3 lassen wir dabei außen vor). So wird aus (x-4)² entsprechend (x² - 8x + 16) (den voran stehenden Faktor 2 und den Summand 3 lassen wir dabei außen vor). Das ergibt dann mit der eben außen vor gelassenen 2 multipliziert 2x² - 16x + 32 + 3, und nun die 3 am Ende addiert: 2x² - 16x + 35 Das ergibt dann mit der eben außen vor gelassenen 2 multipliziert 2x² - 16x + 32 + 3, und nun die 3 am Ende addiert: 2x² - 16x + 35 Dieser ausformulierte Term rechts ist also gleich dem linken Term - x² +2x - 2 Dieser ausformulierte Term rechts ist also gleich dem linken Term - x² +2x - 2. Dieser ausformulierte Term rechts ist also gleich dem linken Term - x² +2x - 2. Nun setzen wir den linken Term auf 0, d.h. wir subtrahieren und addieren auf beiden Seiten, bis der linke Term für sich 0 ergibt. Nun setzen wir den linken Term auf 0, d.h. wir subtrahieren und addieren auf beiden Seiten, bis der linke Term für sich 0 ergibt. Nun setzen wir den linken Term auf 0, d.h. wir subtrahieren und addieren auf beiden Seiten, bis der linke Term für sich 0 ergibt. Wir addieren also x² auf (d.h. +x²) auf beiden Seiten, subtrahieren 2x (d.h. -2x) auf beiden Seiten. Und addieren die 2 auf beiden Seiten. Und addieren die 2 auf beiden Seiten. Auf der linken Seite heben sich die Additionen und Subtraktionen auf, d.h. der linke Term ergibt nun 0. Auf der linken Seite heben sich die Additionen und Subtraktionen auf, d.h. der linke Term ergibt nun 0. Die Gleichung lautet nun also: 0 = 3x² Die Gleichung lautet nun also: 0 = 3x² - 18x Die Gleichung lautet nun also: 0 = 3x² - 18x Die Gleichung lautet nun also: 0 = 3x² - 18x + 37 Also bekommen wir eine quadratische Gleichung. Also bekommen wir eine quadratische Gleichung. Quadratische Gleichungen können wir einfach lösen. Quadratische Gleichungen können wir einfach lösen. Unsere Lösungen sind: x ist gleich -b. Nun, b ist -18, also -b ist +18. x ist also gleich: 18 +/- der Wurzel aus 18² - 4 · 3 · 37 x (1/2) ist also gleich: 18 +/- der Wurzel aus 18² - 4 · 3 · 37, durch 6. x (1/2) ist also gleich: 18 +/- der Wurzel aus 18² - 4 · 3 · 37, durch 6. Was ist das nun? Um das auszurechnen, benutzen wir den Taschenrechner: Um das auszurechnen, benutzen wir den Taschenrechner: 18 · 18 = 324, -4 · 3 · 37 = -444 324 - 444 =120 18 · 18 = 324, -4 · 3 · 37 = -444 324 - 444 =120 18 +/- die Wurzel aus -120. Vielleicht ist es dir bereits aufgefallen, dass die Zahl in der Wurzel negativ ist. Vielleicht ist es dir bereits aufgefallen, dass die Zahl in der Wurzel negativ ist. 4 ·3 = 12 12 * 37 = 444 - also größer als 324 (Quadrat von 18). 4 ·3 = 12 12 * 37 = 444 - also größer als 324 (Quadrat von 18). Also haben wir in unserer Auflösung eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Also haben wir in unserer Auflösung eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Also haben wir in unserer Auflösung eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Also haben wir in unserer Auflösung eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Wenn wir nur reele Zahlen als Zahlenbereich haben, gibt es keine Wurzel aus -120 (weil ein Quadrat in diesem Zahlenbereich immer positiv ist). Wenn wir nur reele Zahlen als Zahlenbereich haben, gibt es keine Wurzel aus -120 (weil ein Quadrat in diesem Zahlenbereich immer positiv ist). Also gibt es keine Lösung für diese Gleichung. Also gibt es keine Lösung für diese Gleichung. Wir hätten es natürlich schon beim Schreiben des Wurzel-Terms erkennen können. Wir hätten es natürlich schon beim Schreiben des Wurzel-Terms erkennen können. -b² minus 4 · a · c, in unserem Fall also: 18² minus 4 · 3 · 37 Also gibt es keine Lösung für diese quadratische Gleichung. Das bedeutet natürlich, dass unsere 2 Ausgangsgleichungen niemals gleich sein können. Das bedeutet natürlich, dass unsere 2 Ausgangsgleichungen niemals gleich sein können. Es gibt keine Lösung weil es keinen Wert für x geben kann, der in beide Terme eingesetzt, das gleiche y ergibt. Es gibt keine Lösung weil es keinen Wert für X geben kann, der in beide Terme eingesetzt, das gleiche y ergibt. Es gibt keine Lösung weil es keinen Wert für X geben kann, der in beide Terme eingesetzt, das gleiche y ergibt. Lass uns nochmal darüber nachdenken, warum das passiert ist: Die erste Gleichung können wir so als graphische Funktion verwenden. Es ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die erste Gleichung können wir so als graphische Funktion verwenden. Es ist eine nach oben geöffnete Parabel. Das müsste also in etwa so aussehen - ich versuche mein Bestes, das hier zu zeichnen. Das müsste also in etwa so aussehen - ich versuche mein Bestes, das hier zu zeichnen. Das müsste also in etwa so aussehen - ich versuche mein Bestes, das hier zu zeichnen. Das müsste also in etwa so aussehen - ich versuche mein Bestes, das hier zu zeichnen. Als Erstes zeichne ich die y- und x-Achse. Als Erstes zeichne ich die y- und x-Achse. Als Erstes zeichne ich die y- und x-Achse. Als Erstes zeichne ich die y- und x-Achse. Wir sehen anhand des Terms, dass wir einen Scheitelpunkt auf x=4 und y=3 haben. Wir sehen anhand des Terms, dass wir einen Scheitelpunkt auf x=4 und y=3 haben. Und insgesamt sehen wir, dass es eben eine nach oben geöffnete Parabel ist, da wir hier einen positiven Faktor haben. Und insgesamt sehen wir, dass es eben eine nach oben geöffnete Parabel ist, da wir hier einen positiven Faktor haben. Also sieht unsere Funktion ungefähr wie folgt aus: Also sieht unsere Funktion ungefähr wie folgt aus: Also sieht unsere Funktion ungefähr wie folgt aus: Wie müsste jetzt also ungefähr unsere zweite Gleichung aussehen? Es ist eine nach unten geöffnete Parabel und wir können auch hier den Scheitelpunkt bestimmen. Es ist eine nach unten geöffnete Parabel und wir können auch hier den Scheitelpunkt bestimmen. Zur Übersicht forme ich die zweite Gleichung noch etwas um, damit man diese besser vergleichen und zeichnen kann: Zur Übersicht forme ich die zweite Gleichung noch etwas um, damit man diese besser vergleichen und zeichnen kann: Zur Übersicht forme ich die zweite Gleichung noch etwas um, damit man diese besser vergleichen und zeichnen kann: Wir klammern als Erstes "-1" aus. Wir klammern als Erstes "-1" aus. Und nehmen dann den Term entsprechend in Klammer: x² - 2x + 2 Wobei ich die 2 jetzt mal weg schiebe, um es mir einfacher zu machen. Wobei ich die 2 jetzt mal weg schiebe, um es mir einfacher zu machen. Dann können wir sagen, dass die Hälfte von -2 gleich -1 ist. Also füge ich einfach "+1 -1" ein. Also füge ich einfach "+1 -1" ein. So kann ich aber diesen Teil (x² - 2x +1) umformen, und zwar in: (x-1)² (x² - 2x +1) = (x-1)² Das heißt also für uns: - (x-1)² Das heißt also für uns: - (x-1)² Das heißt also für uns: - (x-1)² Ich füge eine Klammer hinzu: - ((x-1)² - 1) +2 - ((x-1)² - 1) +2 = - ((x-1)² +1) Nun rechnen wir eine Klammer aus: y = - (x-1)² - 1 y = - (x-1)²-1 - der Scheitel dieser Parabel liegt also bei x= und y=-1 y = - (x-1)²-1 - der Scheitel dieser Parabel liegt also bei x= und y=-1. y = - (X-1)²-1 - der Scheitel dieser Parabel liegt also bei x= und y=-1. Das ist der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel. Das ist der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel. Wir haben einen negativen Koeffizienten zweiten Grades hier, also sieht das dann ungefähr so aus. Wir haben einen negativen Koeffizienten zweiten Grades hier, also sieht das dann ungefähr so aus. Wir haben einen negativen Koeffizienten zweiten Grades hier, also sieht das dann ungefähr so aus. Wie man jetzt also sehen kann, haben die zwei Funktionen keine Überschneidung - wie errechnet. Wie man jetzt also sehen kann, haben die zwei Funktionen keine Überschneidung - wie errechnet. Die Scheitelpunkte der beiden gegensätzlich geöffneten Parabeln liegen auseinander. Also gibt es keine Überscheidung. Keine Überscheidung = keine Lösung für unsere gleichgesetzten Gleichungen. Keine Überscheidung = keine Lösung für unsere gleichgesetzten Gleichungen. Keine Überscheidung = keine Lösung für unsere gleichgesetzten Gleichungen.