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Welche Lösungen gibt es zum folgenden Gleichungssystem: Welche Lösungen gibt es zum folgenden Gleichungssystem: y = x + 1 und x^2 + y^2 = 25 ? y = x + 1 und x^2 + y^2 = 25 ? Ich versuche die beiden Gleichungen mal grafisch darzustellen. Ich versuche die beiden Gleichungen mal grafisch darzustellen. Hier haben wir die y-Achse und hier die x-Achse. Hier haben wir die y-Achse und hier die x-Achse. Dies hier (x^2 + y^2 = 25) ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei 0 und einem Radius von 5. Dies hier (x^2 + y^2 = 25) ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei 0 und einem Radius von 5. Dies hier (x^2 + y^2 = 25) ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei 0 und einem Radius von 5. Das muss man nicht wissen - hilft aber zur Veranschaulichung. Das muss man nicht wissen - hilft aber zur Veranschaulichung. Dementsprechend sind vier Punkte 5, 5, -5 und noch einmal -5. Dementsprechend sind vier Punkte 5, 5, -5 und noch einmal -5. Dementsprechend sind vier Punkte 5, 5, -5 und noch einmal -5. Diese Punkte erfüllen die Bedingungen dieser Gleichung. Diese Punkte erfüllen die Bedingungen dieser Gleichung. Diese Punkte erfüllen die Bedingungen dieser Gleichung. Diese Punkte erfüllen die Bedingungen dieser Gleichung. Diese Punkte erfüllen die Bedingungen dieser Gleichung. Die zweite Gleichung (y = x + 1) ist eine Gerade. Sie hat die Steigung 1 und den y-Schnittpunkt 1. Die zweite Gleichung (y = x + 1) ist eine Gerade. Sie hat die Steigung 1 und den y-Schnittpunkt 1. Der y-Schnittpunkt ist bei 1, und die Steigung ist 1. Der y-Schnittpunkt ist bei 1, und die Steigung ist 1. Das sieht ungefähr so aus. Wenn wir Lösungen für das Gleichungssystem suchen, dann suchen wir die Punkte, welche die Bedingungen beider Gleichungen erfüllen. Wenn wir Lösungen für das Gleichungssystem suchen, dann suchen wir die Punkte, welche die Bedingungen beider Gleichungen erfüllen. Die Punkte, die beide Gleichungen erfüllen, sitzen auf dem Kreis und der Geraden. Das sind diese zwei grünen Punkte. Das sind diese zwei grünen Punkte. Wie können wir das jetzt genauer herausfinden? Manchmal ist es am einfachsten, die Gleichungen ineinander einzusetzen. Manchmal ist es am einfachsten, die Gleichungen ineinander einzusetzen. Manchmal ist es am einfachsten, die Gleichungen ineinander einzusetzen. Hier z.B. haben wir schon das Ergebnis für y, können also y oben einsetzen. Hier z.B. haben wir schon das Ergebnis für y, können also y oben einsetzen. Hier z.B. haben wir schon das Ergebnis für y, können also y oben einsetzen. Anstatt y sagen wir (x+1). Anstatt x^2 + y^2 = 25 sagen wir x^2 + (x+1)^2 = 25. Anstatt x^2 + y^2 = 25 sagen wir x^2 + (x+1)^2 = 25. Anstatt x^2 + y^2 = 25 sagen wir x^2 + (x+1)^2 = 25. Jetzt können wir versuchen, x zu finden. Quadrieren wir die rosa Klammer: x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25. Quadrieren wir die rosa Klammer: x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25. Quadrieren wir die rosa Klammer: x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25. Quadrieren wir die rosa Klammer: x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25. Dann kombinieren wir die beiden x^2 Terme 2x^2 + 2x + 1 = 25. Dann kombinieren wir die beiden x^2 Terme 2x^2 + 2x + 1 = 25. Dann kombinieren wir die beiden x^2 Terme 2x^2 + 2x + 1 = 25. Jetzt könnten wir einfach die Quadratformel nutzen - vorsichtig, vorher muss hier gleich 0 stehen. Jetzt könnten wir einfach die Quadratformel nutzen - vorsichtig, vorher muss hier gleich 0 stehen. Schreiben wir die Gleichung so, dass hier gleich 0 steht: Schreiben wir die Gleichung so, dass hier gleich 0 steht: Subtrahieren wir 25 von beiden Seiten: 2x^2 + 2x - 24 = 0. Subtrahieren wir 25 von beiden Seiten: 2x^2 + 2x - 24 = 0. Dividieren wir beide Seiten durch 2: x^2 + x - 12 = 0. Dividieren wir beide Seiten durch 2: x^2 + x - 12 = 0. Dividieren wir beide Seiten durch 2: x^2 + x - 12 = 0. Das sehen wir sogar ohne Quadratformel. Das sehen wir sogar ohne Quadratformel. Welche zwei Zahlen haben ein Produkt von -12 und eine Summe von 1? Welche zwei Zahlen haben ein Produkt von -12 und eine Summe von 1? 4 und -3 schaffen das. Also haben wir (x + 4)(x - 3) = 0. x könnte also entweder, wenn der komplette erste Teil 0 ergibt, -4 sein, oder, wenn der zweite Teil 0 ergibt, 3 sein. x könnte also entweder, wenn der komplette erste Teil 0 ergibt, -4 sein, oder, wenn der zweite Teil 0 ergibt, 3 sein. x könnte also entweder, wenn der komplette erste Teil 0 ergibt, -4 sein, oder, wenn der zweite Teil 0 ergibt, 3 sein. Die zwei Antworten lauten also: x = -4 x = 3 Hier wäre x=-4 und hier wäre x=3. Hier wäre x=-4 und hier wäre x=3. Hier wäre x=-4 und hier wäre x=3. Wir sind also fast fertig, wir müssen nur noch die dazugehörigen y-Werte finden. Wir sind also fast fertig, wir müssen nur noch die dazugehörigen y-Werte finden. Verwenden wir die einfachste Gleichung y = x + 1 und setzen die Zahlen für x dort ein. Verwenden wir die einfachste Gleichung y = x + 1 und setzen die Zahlen für x dort ein. Wenn x = -4 ist, dann ist y = -4 + 1, also y=-3. Wenn x = -4 ist, dann ist y = -4 + 1, also y=-3. Wenn x = -4 ist, dann ist y = -4 + 1, also y=-3. Die Koordinaten dieses Punktes sind also (-4 | -3). Genauso: wenn x=3 ist, ist y=4. Demnach ist der zweite Punkt hier an den Koordinaten (3 | 4). Dies sind die beiden Lösungen für dieses nichtlineare Gleichungssystem. Dies sind die beiden Lösungen für dieses nichtlineare Gleichungssystem.