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Geradengleichungen in Punktsteigungsform & Normalform

Video-Transkript

Gegeben ist eine lineare Funktion und wir wissen, wenn x gleich 4 ist, dann ist y gleich 9. Diesen Punkt haben wir hier eingezeichnent. Ich habe vergessen die x-Achse zu beschriften. Und wir wissen, wenn x gleich 6 ist, dann ist y gleich 1. Diesem Punkt haben wir hier eingezeichnet. Diese grüne Gerade, repräsentiert damit alle Lösungen der linearen Gleichung. In diesem Video möchte ich die lineare Gleichung der Geraden sowohl in Punkt-Steigungsform, als auch in Normalform aufstellen. Versuche es zunächst einmal selber. Versuche es zunächst einmal selber. Beginnen wir mit der Punkt-Steigungsform. Punkt-Steigungsform. Punkt-Steigungsform. Eine Punkt-Steigungsform kannst du bilden, wenn du einen Punkt auf der Geraden kennst, oder einen Punkt, der die Gleichung erfüllt, an dem die x und y Koordinate die Geichung erfüllen, und wenn du die Steigung der Gleichung kennst, die die Ergebnissmenge dieser linearen Gleichung repräsentiert. Tatsächlich haben wir zwei Punkte gegeben. Sie sind Ergebnisse, sie erfüllen die lineare Gleichung. Um die Punkt-Steigungsform zu bilden, müssen wir nun nur die Steigung herausfinden. Wir müssen dazu-- Nun, was ist die Steigung zwischen zwei Punkten, die wir kennen? Wir müssen uns nur daran erinnern-- Die Steigung ist gleich Änderung in y geteilt durch Änderung in x. Die Steigung ist gleich Änderung in y geteilt durch Änderung in x. Die Steigung ist gleich Änderung in y geteilt durch Änderung in x. Und das ist? Nun, wenn wir sagen, der zweite Punkt hier, das ist unser Ausgangspunkt, und wir gehen rüber zu diesem Punkt, dann ist die Änderung in y, um von diesem zu diesem Punkt zu kommen, das ist-- das ist gleich 1 minus 9, 1 minus 9. 1 minus 9. Dieser Punkt hier, der Punkt (6 / 1). Wir beginnen bei y gleich 9, und enden bei y gleich 1. Die Änderungsrate von y ist 1 minus 9. Wir haben eine Änderung um minus 8 in y. Das passt. Wir sind 8 Schritte heruntergegangen. Das ist gleich minus 8. Das ist gleich minus 8. Das ist die Änderung in y. Und die Änderung in x? Wir bewegen uns von x gleich 4 bis x gleich 6. An unserem Endpunkt ist x gleich 6. Und an unserem Startpunkt ist x gleich 4. Wir haben bei x gleich 4 begonnen, damit ist die Änderung in x 6 minus 4, und das ist gleich 2. Das ist gleich 2. Du kannst das auch an der Grafik ablesen. Wenn du von diesem Punkt zu diesem Punkt gehst, dann gehst du um 8 runter. dann gehst du um 8 runter. Damit ist deine Änderung-- ich schreibe das hier auf-- Die Änderung in x ist gleich minus 8. Und x? Um auch wieder zu diesem Punkt zu gelangen? Nun, die Änderung beträgt 2. Damit ist die Änderung in x gleich 2. Und was ist dann deine Steigung? Änderung in y geteilt durch Änderung in x. Minus 8 geteilt durch 2 ist gleich minus 4. Nun, da wir die Steigung kennen, Nun, da wir die Steigung kennen, und wir kennen einen Punkt, wir kennen sogar zwei Punkte der Geraden, können wir die Punkt-Steigungsform aufstellen. Also los. Ich mache das so wie immer, ich gehe von der Definition der Steigung aus. Wir wissen, dass die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten der Geraden minus 4 sein wird. Wenn wir ein beliebiges y auswählen-- Wir nehmen diesen Punkt hier-- Wir nehmen diesen Punkt hier-- und nun die Differenz zwischen diesem y und diesem y also 9, geteilt durch die Differenz zwischen einem beliebigen x der Geraden und diesem x nehmen, also 4. Das ist dann die Steigung zwischen jedem beliebigen xy auf dieser Geraden, und dem Punkt hier drüben. Und die Steigung zwischen zwei belibigen Punkten der Geraden ist konstant. Das ist gleich der Steigung der Geraden. Die Steigung ist gleich minus 4. Wir haben hier noch keine Punkt-Steigungsform. Wir haben hier noch keine Punkt-Steigungsform. Dazu müssen wir noch beide Seiten mit x minus 4 multiplizieren. Damit erhalten wir y minus 9, y minus 9 ist gleich unserer Steigung, minus 4, mal x minus 4. Mal x minus 4. Und das hier drüben ist unsere klassische Punkt-Steigungsform. Wir haben einen Punkt, manchmal mit Klammern gekennzeichnet, aber wir können den Punkt durch die Punkt-Steigungsform herausbekommen. Dieser Punkt auf der Geraden macht beide Seite der Gleichung zu Null. Damit ist x gleich 4, x ist gleich 9, das steht hier, und damit haben wir hier die Steigung, das ist minus 4. Wie können wir nun diese lineare Gleichung, in y-Achsenabschnittsform (Normalform) ausdrücken? Die y-Achsenabschnittsform, zur Erinnerung, hier ist y gleich mx plus b. Dabei ist dieser Koeffizient die Steigung und mit dieser Konstante hier können wir den y-Achsenabschnitt erkennen. Und um dies in diese Form zu überführen müssen wir die Gleichung ein wenig umformen. y minus 9. y minus 9 ist gleich-- nun, lass uns minus 4 ausklammern. Ich nehme eine andere Farbe. Wir klammern minus 4 aus. Minus 4 mal x ist minus 4x Minus 4 mal minus 4 ist minus 16. Wenn wir nun das y aus der linken Seite isolieren wollen, dann können wir auf beiden Seiten 9 addieren. Lass uns das machen. Wir addieren auf beiden Seiten 9. Wir addieren auf beiden Seiten 9. Wir addieren auf beiden Seiten 9. Auf der linken Seite bleibt y übrig. Auf der rechten Seite erhalten wir minus 4x und 16 plus 9 ist 25. Das ist es. Das ist die gleiche lineare Gleichung, aber nun haben wir sie in Normalform umgeschrieben. Noch einmal, hier haben wir die Steigung und nun können wir den y-Achsenabschnitt ablesen. Der y-Achsenabschnitt ist dort, wo x gleich 0 ist. und y ist gleich 25. Ich habe die y-Achse nicht lang genug gezeichnet, aber wenn ich sie länger zeichnen würde, könntest du sehen, dass die Gerade die y-Achse schneidet, wenn y gleich 25 ist. wenn y gleich 25 ist. Wir haben die Gleichung in Punkt-Steigungsform aufgeschrieben, das ist diese hier drüben, und wir haben sie in Normalform umgeschrieben. und wir haben sie in Normalform umgeschrieben. und wir haben sie in Normalform umgeschrieben. Punkt-Steigungsform und Normalform. Ich hoffe, das hat dir Spaß gemacht.