Einführung in die Punktsteigungsform

Was ich hier in gelb eingezeichnet habe ist eine Gerade. Lasst uns annehmen, dass wir zwei Informationen über diese Gerade haben. Wir wissen, dass sie die Steigung m hat, und wir wissen, dass der Punkt (a | b) auf dieser Gerade liegt. Die Frage, die wir beantworten wollen, ist: Können wir mit Hilfe dieser Informationen einfach eine Gleichung für diese Gerade aufstellen? Können wir mit Hilfe dieser Informationen einfach eine Gleichung für diese Gerade aufstellen? Wir wollen es ausprobieren. Jeder Punkt auf dieser Geraden, also jedes (x | y), müsste die Bedingung erfüllen, Jeder Punkt auf dieser Geraden, also jedes (x | y), müsste die Bedingung erfüllen, dass die Steigung zwischen diesem Punkt - - nehmen wir mal den Punkt (x | y), einen frei gewählten Punkt auf der Geraden - - nehmen wir mal den Punkt (x | y), einen frei gewählten Punkt auf der Geraden - dadurch, dass dieser Punkt auf der Gerade liegt, wissen wir, dass die Steigung zwischen dem Punkt (a | b) und dem Punkt (x | y) gleich m sein muss. Lasst uns dieses Wissen nutzen, um eine Gleichung aufzustellen. Was ist die Steigung zwischen (a | b) und (x |y)? Erinnern wir uns: Die Steigung ist die Differenz bei y geteilt durch die Differenz bei x. Erinnern wir uns: Die Steigung ist die Differenz bei y geteilt durch die Differenz bei x. Wir schreiben das auf. Die Steigung ist die Differenz bei y geteilt durch die Differenz bei x. Dieses kleine Dreieck, der griechische Buchstabe Delta, stellt die Differenz dar. Dieses kleine Dreieck, der griechische Buchstabe Delta, stellt die Differenz dar. Die Differenz von y - mal schauen. Wenn wir bei y = b beginnen, und als das zweite y unser frei gewähltes y ist, dann beträgt die Differenz y minus b. dann beträgt die Differenz y minus b. Lasst es uns in den selben Farben aufschreiben. Hier haben wir y minus b. Das steht über der Differenz von x. Bei x verhält es sich genauso - das erste x ist unser a. Das zweite x ist unser frei gewähltes x. Das zweite x ist unser frei gewähltes x. Die Differenz ist unser letztes x minus unser erstes x. Die Differenz ist unser letztes x minus unser erstes x, also x minus a. Das hier ist die Steigung zwischen diesen zwei Punkten. Das ist die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten auf dieser Geraden. Das ist das gleiche wie m. Das hier ist gleich m. Wir haben hier eine Gleichung aufgeschrieben, die diese Gerade beschreibt. Wir haben hier eine Gleichung aufgeschrieben, die diese Gerade beschreibt. Sie ist vielleicht in einer ungewöhnlichen Form, aber es ist eine Gleichung, Sie ist vielleicht in einer ungewöhnlichen Form, aber es ist eine Gleichung, die jedes beliebige (x | y) auf dieser Gerade beschreibt. die jedes beliebige (x | y) auf dieser Gerade beschreibt. Die Steigung zwischen jedem Punkt (x | y) und diesem Punkt hier, dem Punkt (a | b), ist gleich m. Die Steigung zwischen jedem Punkt (x | y) und diesem Punkt hier, dem Punkt (a | b), ist gleich m. Lasst uns die Gleichung in eine Form bringen, die wir gewohnt sind. Lasst uns die Gleichung in eine Form bringen, die wir gewohnt sind. Lasst mich das kopieren. Um die Formel zu vereinfachen und das x minus a loszuwerden, Um die Formel zu vereinfachen und das x minus a loszuwerden, multiplizieren wir beide Seiten mit x minus a. Wir werden beide Seiten mit x minus a multiplizieren, also x minus a auf der linken Seite und x minus a auf der rechten Seite. also x minus a auf der linken Seite und x minus a auf der rechten Seite. Lasst uns einige Klammern einfügen. Wir multiplizieren also beide Seiten mit x minus a. Nun haben wir x minus a geteilt durch x minus a, was 1 ergibt. Nun haben wir x minus a geteilt durch x minus a, was 1 ergibt. Auf der rechten Seite haben wir m mal x minus a. Auf der rechten Seite haben wir m mal x minus a. Also haben wir die vereinfachte Gleichung y minus b ist gleich m mal x minus a. Also haben wir die vereinfachte Gleichung y minus b ist gleich m mal x minus a. Diese Form ist bekannt als Punkt-Steigungs-Form. Diese Form ist bekannt als Punkt-Steigungs-Form. Das ist also die Punkt-Steigungs-Form der Gleichung, die diese Gerade beschreibt. Das ist also die Punkt-Steigungs-Form der Gleichung, die diese Gerade beschreibt. Doch warum heißt diese Form Punkt-Steigungs-Form? Doch wieso heißt diese Form Punkt-Steigungs-Form? Das hier ist die Steigung der Gerade, in grün. Das hier ist die Steigung der Gerade, in grün. Ich kann zwei Punkte einfügen. Wenn die Punkte (a | b) auf dieser Geraden liegen, haben wir die Steigung mal x minus a ist gleich y minus b. Lasst uns sehen, warum das nützlich ist. Lasst uns sehen, warum das nützlich ist. Lasst uns etwas konkreter werden. Lasst uns etwas konkreter werden. Wenn jemand uns sagt, dass er eine Gerade mit der Steigung 2 hat, Wenn jemand uns sagt, dass er eine Gerade mit der Steigung 2 hat, die durch den Punkt (-7 | 5) geht. die durch den Punkt (-7/5) geht. Nun können wir unser Wissen nutzen, um die Punkt-Steigungs-Form aufzustellen. Nun können wir unser Wissen nutzen, um die Punkt-Steigungs-Form aufzustellen. Nun können wir unser Wissen nutzen, um die Punkt-Steigungs-Form aufzustellen. Wir würden sagen, eine Gleichung, die diesen Punkt beinhaltet und diese Steigung hat, Wir würden sagen: Eine Gleichung, die diesen Punkt beinhaltet und diese Steigung hat, wäre y minus b, also minus 5, wäre y minus b, also minus 5, gleich meiner Steigung mal x minus dem x-Wert dieses Punktes auf unserer Geraden. Also x minus -7. So einfach haben wir also eine Gleichung aufgestellt, die die Steigung 2 hat und diesen Punkt beinhaltet. die die Steigung 2 hat und diesen Punkt beinhaltet. Wenn uns das x minus -7 nicht gefällt, können wir es zu x plus 7 umschreiben. Aber das ist die natürliche Punkt-Steigungs-Form. Wenn wir es vereinfachen wollen, können wir es als y minus 5 ist gleich 2 mal x plus 7 aufschreiben. Wenn wir es vereinfachen wollen, können wir es als y minus 5 ist gleich 2 mal x plus 7 aufschreiben. Wenn wir diese Gerade auf eine andere Art beschreiben wollen, Wenn wir diese Gerade auf eine andere Art beschreiben wollen, können wir die Form nehmen, die wir am besten kennen: die Geradengleichung. können wir die Form nehmen, die wir am besten kennen: die Geradengleichung. Wir können das ganz einfach in eine Geradengleichung überführen. Dafür müssen wir die Klammer auflösen. Wir haben y minus 5 ist gleich 2 mal x plus 2 mal 7, was 14 ergibt. Wir haben y minus 5 ist gleich 2 mal x plus 2 mal 7, was 14 ergibt. Nun müssen wir die minus 5 auf der linken Seite loswerden. Dazu addieren wir 5 auf beiden Seiten der Gleichung. Also bleibt y auf der linken Seite, und 2x plus 19 auf der rechten Seite. Das ist also die Geradengleichung. Wir haben unsere Steigung und unseren y-Achsenabschnitt. Das hier ist die Geradengleichung. Und das hier ist die Punkt-Steigungs-Form.