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Strategie beim Faktorisieren von quadratischen Termen (Teil 2 von 2)

Video-Transkript

Im letzten Video haben wir uns drei Beispiele zu Faktorisierungstechniken angeschaut Im letzten Video haben wir uns drei Beispiele zu Faktorisierungstechniken angeschaut Im letzten Video haben wir uns drei Beispiele zu Faktorisierungstechniken angeschaut und wann man diese anwenden kann. Im ersten Beispiel mussten wir nur einen gemeinsamen Faktor finden. Im ersten Beispiel mussten wir nur einen gemeinsamen Faktor finden. Nach dem Ausklammern waren wir fertig. Im zweiten Beispiel war 4 der gemeinsame Faktor. Danach wendeten wir eine der Grundtechniken zum Ausklammern an, Danach wendeten wir eine der Grundtechniken zum Ausklammern an, Danach wendeten wir eine der Grundtechniken zum Ausklammern an, bei der wir die zwei Zahlen suchten, die addiert den Koeffizienten 1. Grades ergeben, bei der wir die zwei Zahlen suchten, die addiert den Koeffizienten 1. Grades ergeben, und deren Produkt die Konstante ergibt. Dann konnten wir den Ausdruck faktorisieren. Im dritten Beispiel klammerten wir zuerst auch den gemeinsamen Teiler 3 aus. Im dritten Beispiel klammerten wir zuerst auch den gemeinsamen Teiler 3 aus. Im dritten Beispiel klammerten wir zuerst auch den gemeinsamen Teiler 3 aus. Dann konnten wir wie im zweiten Beispiel weitermachen oder sofort erkennen, dass es sich um die eine binomische Formel handelt. oder sofort erkennen, dass es sich um die eine binomische Formel handelt. So oder so konnten wir den Ausdruck dann faktorisieren. Jetzt schauen wir uns ein paar andere Arten von Polynomen an, die vielleicht andere Techniken erfordern. Jetzt schauen wir uns ein paar andere Arten von Polynomen an, die vielleicht andere Techniken erfordern. Wir haben folgenden Ausdruck: 7 x ^ 2 minus 63. Halte das Video an und versuche, diesen Ausdruck zu faktorisieren. Halte das Video an und versuche, diesen Ausdruck zu faktorisieren. Überprüfe zuerst, ob es einen gemeinsamen Teiler aller Terme gibt. Überprüfe zuerst, ob es einen gemeinsamen Teiler aller Terme gibt. Alle Terme sind teilbar durch 7. Also kannst du die 7 ausklammern. Also kannst du die 7 ausklammern. Jetzt erkennst du sofort, dass es sich um die dritte binomische Formel handelt. Jetzt erkennst du sofort, dass es sich um die dritte binomische Formel handelt. Du hast x² minus 3². Du hast x² minus 3². Du hast x² minus 3². Wenn der Ausdruck "dritte binomische Formel" vollkommen neu für dich ist, Wenn der Ausdruck "dritte binomische Formel" vollkommen neu für dich ist, dann solltest du das Video zur "dritten binomischen Formel" auf der Khan Academy anschauen. dann solltest du das Video zur "dritten binomischen Formel" auf der Khan Academy anschauen. Du kannst also folgendermaßen weiter faktorisieren: Du kannst also folgendermaßen weiter faktorisieren: Du kannst also folgendermaßen weiter faktorisieren: Du kannst also folgendermaßen weiter faktorisieren: Du kannst also folgendermaßen weiter faktorisieren: x + 3 * x - 3. Das ist x² - 3². Einer Sache solltest du dir bewusst sein: Hierbei handelt es sich nicht wirklich um eine andere Technik als bei den Beispielen im vorherigen Video. Hierbei handelt es sich nicht wirklich um eine andere Technik als bei den Beispielen im vorherigen Video. Wenn wir uns auf x² - 9 konzentrieren, kannst du das auch als x² + 0x - 9 schreiben. Wenn wir uns auf x² - 9 konzentrieren, kannst du das auch als x² + 0x - 9 schreiben. In diesem Fall suchst du zwei Zahlen, die multipliziert -9 und addiert 0 ergeben. In diesem Fall suchst du zwei Zahlen, die multipliziert -9 und addiert 0 ergeben. Wenn ich -9 als Produkt erhalten möchte, müssen die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. Wenn ich -9 als Produkt erhalten möchte, müssen die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. Wenn ich -9 als Produkt erhalten möchte, müssen die Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. Hätten sie das gleiche Vorzeichen, würde das Produkt positiv werden. Hätten sie das gleiche Vorzeichen, würde das Produkt positiv werden. 9 besitzt nur 3 Teiler: 1,3 und 9 9 besitzt nur 3 Teiler: 1,3 und 9 Du kannst 1 oder 9 haben. Es gibt nur 2 Kombinationen. 1 und 9 oder oder 3 und 3 Wenn die 1 oder die 9 negativ sind, ist die Summe der beiden Zahlen nicht 0. Wenn die 1 oder die 9 negativ sind, ist die Summe der beiden Zahlen nicht 0. Aber wenn eine der 3en negativ ist, ist die Summe 0. Aber wenn eine der 3en negativ ist, ist die Summe 0. Also sind die zwei Zahlen -3 und 3. Also sind die zwei Zahlen -3 und 3. Wir haben also (x-3)(x+3). Da wir uns nur auf den Inhalt der Klammern konzentriert haben, müssen wir noch die 7 vorstellen. Da wir uns nur auf den Inhalt der Klammern konzentriert haben, müssen wir noch die 7 vorstellen. Da wir uns nur auf den Inhalt der Klammern konzentriert haben, müssen wir noch die 7 vorstellen. Da wir uns nur auf den Inhalt der Klammern konzentriert haben, müssen wir noch die 7 vorstellen. Aber wenn du erkennst, dass es sich um die 3. binomische Formel handelt, wirst du schneller zum Ergebnis kommen. Aber wenn du erkennst, dass es sich um die 3. binomische Formel handelt, wirst du schneller zum Ergebnis kommen. Ein weiteres Beispiel: Sagen wir, ich habe 2 x ^ 2 + 7 x + 3. Wenn mein Koeffizient des Terms 2. Grades keine 1 ist, Wenn mein Koeffizient des Terms 2. Grades keine 1 ist, versuche ich einen gemeinsamen Teiler zu finden. Aber weder 7 noch 3 sind durch 2 teilbar. Also kann ich nicht die Techniken anwenden, die ich in den vorherigen Beispielen angewendet habe, Also kann ich nicht die Techniken anwenden, die ich in den vorherigen Beispielen angewendet habe, bei denen ich einen gemeinsamen Teiler gefunden habe, sodass ich einen führenden Koeffizienten von 1 erhalten habe. bei denen ich einen gemeinsamen Teiler gefunden habe, sodass ich einen führenden Koeffizienten von 1 erhalten habe. Bei dieser Situation müssen wir die Technik "Faktorisieren durch Gruppierung" anwenden. Bei dieser Situation müssen wir die Technik "Faktorisieren durch Gruppierung" anwenden. Alles was wir bisher gemacht habe, kannst du als Spezialfälle von Faktorisieren durch Gruppierung sehen. Alles was wir bisher gemacht habe, kannst du als Spezialfälle von Faktorisieren durch Gruppierung sehen. Alles was wir bisher gemacht habe, kannst du als Spezialfälle von Faktorisieren durch Gruppierung sehen. Faktorisieren durch Gruppierung funktioniert so: Gibt es zwei Zahlen (a +b), deren Summe 7 ist? Gibt es zwei Zahlen (a +b), deren Summe 7 ist? Und anstatt das a*b 3 sein muss, muss es 3 mal dem führenden Koeffizienten des x²-Terms sein. Und anstatt das a*b 3 sein muss, muss es 3 mal dem führenden Koeffizienten des x²-Terms sein. Und anstatt das a*b 3 sein muss, muss es 3 mal dem führenden Koeffizienten des x²-Terms sein. Und anstatt das a*b 3 sein muss, muss es 3 mal dem führenden Koeffizienten des x²-Terms sein. Es muss gleich 3 mal 2 sein. Eigentlich haben wir das immer so gemacht, aber in den anderen Beispielen war der führende Koeffizient 1. Eigentlich haben wir das immer so gemacht, aber in den anderen Beispielen war der führende Koeffizient 1. Eigentlich haben wir das immer so gemacht, aber in den anderen Beispielen war der führende Koeffizient 1. Wenn du den konstanten Term mit 1 multipliziert, sagst du nichts anderes als: a*b ist gleich dem konstanten Term. Wenn du den konstanten Term mit 1 multipliziert, sagst du nichts anderes als: a*b ist gleich dem konstanten Term. Wenn du den konstanten Term mit 1 multipliziert, sagst du nichts anderes als: a*b ist gleich dem konstanten Term. Allgemein gesagt: a*b = konstanter Term * führender Koeffizient Allgemein gesagt: a*b = konstanter Term * führender Koeffizient Allgemein gesagt: a*b = konstanter Term * führender Koeffizient In der Einleitung zu Faktorisieren durch Gruppierung haben wir erklärt, warum das funktioniert. In der Einleitung zu Faktorisieren durch Gruppierung haben wir erklärt, warum das funktioniert. Du solltest das nicht als magische Formel hinnehmen. Es ergibt aus sehr guten mathematischen Gründen einen Sinn. Aber wenn du das akzeptiert hast, kann diese Technik sehr nützlich sein. Aber wenn du das akzeptiert hast, kann diese Technik sehr nützlich sein. Also: Welche zwei Zahlen ergeben addiert 7 und multipliziert 6? Also: Welche zwei Zahlen ergeben addiert 7 und multipliziert 6? Da 6 ein positiver Wert ist, müssen beide das gleiche Vorzeichen haben. Da 6 ein positiver Wert ist, müssen beide das gleiche Vorzeichen haben. Und da sie addiert einen positiven Wert ergeben, müssen sie beide positiv sein. Und da sie addiert einen positiven Wert ergeben, müssen sie beide positiv sein. Und da sie addiert einen positiven Wert ergeben, müssen sie beide positiv sein. 1 und 6 funktionieren: 1 + 6 = 7 und 1 * 6 = 6. 1 und 6 funktionieren: 1 + 6 = 7 und 1 * 6 = 6. 1 und 6 funktionieren: 1 + 6 = 7 und 1 * 6 = 6. Beim Faktorisieren durch Gruppierung schreiben wir den Ausdruck neu, indem wir den zweiten Term zwischen a und b aufteilen. Beim Faktorisieren durch Gruppierung schreiben wir den Ausdruck neu, indem wir den zweiten Term zwischen a und b aufteilen. Also kann ich das als als 2 x ^ 2 + 6 x + x schreiben Also kann ich das als als 2 x ^ 2 + 6 x + x schreiben Ich mach das jetzt. Plus 1 x plus 3. Die 7x wurden also aufgeteilt in 6x und 1x. Die 7x wurden also aufgeteilt in 6x und 1x. Alles was ich bisher gemacht habe, war nur notwendig, um den Term ersten Grades aufzuteilen. Alles was ich bisher gemacht habe, war nur notwendig, um den Term ersten Grades aufzuteilen. Aber jetzt können wir zweimal das Distributivgesetz umgekehrt anwenden. Aber jetzt können wir zweimal das Distributivgesetz umgekehrt anwenden. Bei diesen ersten zwei Termen siehst du einen gemeinsamen Teiler. Bei diesen ersten zwei Termen siehst du einen gemeinsamen Teiler. Bei diesen ersten zwei Termen siehst du einen gemeinsamen Teiler. Beide sind teilbar durch 2x. Also klammern wir 2x aus den ersten beiden Termen aus. 2x² geteilt durch 2x ergibt x, 2x² geteilt durch 2x ergibt x, 6x geteilt durch 2x ergibt 3. Für x und 3 gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher schreiben wir es unverändert auf. Für x und 3 gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher schreiben wir es unverändert auf. Für x und 3 gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher schreiben wir es unverändert auf. Für x und 3 gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher schreiben wir es unverändert auf. Aber wenn ich jetzt Klammern ergänze, was den Ausdruck nicht verändert, siehst du etwas anderes: Aber wenn ich jetzt Klammern ergänze, was den Ausdruck nicht verändert, siehst du etwas anderes: Aber wenn ich jetzt Klammern ergänze, was den Ausdruck nicht verändert, siehst du etwas anderes: Ich kann ein (x+3) ausklammern. Was passiert, wenn ich das mache? Ich bekomme x + 3. Wenn ich aus dem ersten Term (x+3) ausklammer, bleibt 2x übrig. Wenn ich aus dem ersten Term (x+3) ausklammer, bleibt 2x übrig. Wenn ich aus dem ersten Term (x+3) ausklammer, bleibt 2x übrig. Wenn ich aus dem ersten Term (x+3) ausklammer, bleibt 2x übrig. Und beim zweiten Term bleibt eine 1 übrig. Und beim zweiten Term bleibt eine 1 übrig. Und beim zweiten Term bleibt eine 1 übrig. Und beim zweiten Term bleibt eine 1 übrig. Und beim zweiten Term bleibt eine 1 übrig. 2 x + 1. Jetzt sind wir fertig. Wie schon gesagt: Dies sind alles verschiedene Techniken. Faktorisierung durch Gruppierung wird häufig als schwerste Technik bezeichnet. Faktorisierung durch Gruppierung wird häufig als schwerste Technik bezeichnet. Aber ich sage "schwer" in Anführungszeichen, da alle anderen Techniken nur eine Variation dieser sind. Aber ich sage "schwer" in Anführungszeichen, da alle anderen Techniken nur eine Variation dieser sind. Aber ich sage "schwer" in Anführungszeichen, da alle anderen Techniken nur eine Variation dieser sind. Es geht immer nur darum, zwei Zahlen zu finden, deren Summe dem Koeffzienten des Term 1. Grades in der Normalform entspricht. Es geht immer nur darum, zwei Zahlen zu finden, deren Summe dem Koeffzienten des Term 1. Grades in der Normalform entspricht. Es geht immer nur darum, zwei Zahlen zu finden, deren Summe dem Koeffzienten des Term 1. Grades in der Normalform entspricht. Ihr Produkt ist gleich dem Produkt der Konstanten und dem führenden Koeffizienten. Ihr Produkt ist gleich dem Produkt der Konstanten und dem führenden Koeffizienten. Dann teilst du den zweiten Term auf und klammerst weiter aus. Dann teilst du den zweiten Term auf und klammerst weiter aus. Dieses Beispiel war ein bisschen subtil, weil du erkennen musstest, dass dieses (x+3) eigentlich eine 1 als Koeffizienten besitzt. Dieses Beispiel war ein bisschen subtil, weil du erkennen musstest, dass dieses (x+3) eigentlich eine 1 als Koeffizienten besitzt. Dieses Beispiel war ein bisschen subtil, weil du erkennen musstest, dass dieses (x+3) eigentlich eine 1 als Koeffizienten besitzt. 1(x+3) ist gleich (x+3) Dann musstest du sehen, dass du (x+3) aus beiden Termen ausklammern kannst und (2x+1) übrig bleibt. Dann musstest du sehen, dass du (x+3) aus beiden Termen ausklammern kannst und (2x+1) übrig bleibt. Dann musstest du sehen, dass du (x+3) aus beiden Termen ausklammern kannst und (2x+1) übrig bleibt. Wenn du mit allen diesen Techniken gut vertraut bist, bist du schon ziemlich gut. Wenn du mit allen diesen Techniken gut vertraut bist, bist du schon ziemlich gut. Wenn du mit allen diesen Techniken gut vertraut bist, bist du schon ziemlich gut. Wenn nichts davon funktioniert, bist du vielleicht schon vertraut mit der Quadratformel oder lernst sie bald kennen. Wenn nichts davon funktioniert, bist du vielleicht schon vertraut mit der Quadratformel oder lernst sie bald kennen. Wenn nichts davon funktioniert, bist du vielleicht schon vertraut mit der Quadratformel oder lernst sie bald kennen. Wenn keine dieser Techniken funktioniert, kann die Quadratformel vielleicht helfen. Wenn keine dieser Techniken funktioniert, kann die Quadratformel vielleicht helfen.