Verbinde alles, was du über das quadratische Faktorisieren gelernt hast, um verschiedene quadratische Ausdrücke jeder Form zu faktorisieren.

Was du für diese Lektion wissen musst

Die folgenden Faktorisierungsmethoden werden in dieser Lektion genutzt:

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel übst du das Zusammenfügen dieser Methode um quadratische Ausdrücke jeder Form vollständig zu faktorisieren.

Einführung: Wiederholung von Faktorisierungsmethoden

MethodeBeispielWann ist sie anwendbar?
Gemeinsame Faktoren ausklammern= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Wenn jeder Term im Polynom einen gemeinsamen Faktor teilt.
Das Summen-Produkt-Verfahren= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Wenn das Polynom die Form x2+bx+cx^2+bx+c hat und es die Faktoren cc gibt, die addiert bb ergeben.
Die Gruppierungsmethode= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Wenn das Polynom die Form ax2+bx+cax^2+bx+c hat und es Faktoren acac gibt, die addiert bb ergeben.
Quadratische Trinome (1. und 2. Binomische Formel)= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Wenn der erste und letzte Term Quadrate sind und der mittlere Term zweimal dem Produkt deren Quadratwurzeln beträgt.
Differenz von Quadraten (3. Binomische Formel)=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Wenn der Ausdruck eine Differenz von Quadraten darstellt.

Alles zusammensetzen

In der Praxis, wird dir selten gesagt, welche Art von Faktorisierungsmethode(n) du benutzt, wenn du auf eine Aufgabe triffst. Daher ist es wichtig, dass du eine Art von Checkliste für den Gebrauch zu entwickeln, die den Faktorisierungsprozess leichter macht.
Hier ist ein Beispiel einer solchen Checkliste, bei der eine Reihe von Fragen gestellt werden um festzulegen, wie ein quadratisches Polynom faktorisiert wird.

Quadratische Terme faktorisieren

Bevor du mit einer Faktorisierungsaufgabe beginnst, ist es hilfreich deinen Ausdruck in der Standardform zu schreiben.
Sobald dies der Fall ist, kannst du mit der folgenden Liste von Fragen weitermachen:
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Wenn nicht, geh zur Frage 2. Wenn ja, klammere das ggT aus und mache mit Frage 2 weiter.
Das Ausklammern des ggT ist ein sehr wichtiger Schritt bei dem Faktorisierungsprozess, da das die Zahlen kleiner macht. Dies wiederum macht es einfacher Muster zu finden!
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten (d.h.. x216x^2-16 oder 25x2925x^2-9)?
Wenn das Differenz von Quadraten-Muster auftritt, faktorisiere mit dem Verfahren a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b). Wenn nicht, gehe weiter zu Frage 3.
Frage 3: Ist es ein quadratisches Trinom (d.h. x210x+25x^2-10x+25 oder 4x2+12x+94x^2+12x+9)?
Wenn ein quadratisches Trinom vorhanden ist, faktorisiere mit Hilfe des Verfahren a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2. Wenn nicht gehe zu Frage 4.
Frage 4:
a) Gibt es einen Ausdruck der Form x2+bx+cx^2+bx+c?
Wenn nicht, gehe zu Frage 5. Wenn ja, gehe zu b).
b) Gibt es Faktoren von cc, die addiert bb ergeben?
Wenn ja, dann faktorisierst du mit Hilfe des Summen-Produkt-Verfahren. Sonst kann der quadratische Ausdruck nicht weiter faktorisiert werden.
Frage 5: Gibt es Faktoren von acac, die addiert bb ergeben?
Wenn du bis hier gekommen bist, muss der quadratische Ausdruck die Form ax2+bx+cax^2+bx+c haben, wobei a1a\neq 1. Gibt es Faktoren von acac, die addiert bb ergeben, dann faktorisiere mit der Gruppierungsmethode. Wenn nicht, kann der quadratische Ausdruck nicht weiter faktorisiert werden.
Das Befolgen dieser Checkliste hilft dir sicherzugehen, dass du den quadratischen Term vollständig faktorisiert hast!
Daran denkend versuchen wir ein paar Beispiele.

Beispiel 1: 5x2805x^2-80 faktorisieren

Beachte, dass der Ausdruck bereits die Standardform hat. Wir können mit der Checkliste weitermachen.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 5x25x^2 und 8080 ist 55. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
5x280=5(x216)5x^2-80=5({x^2-16})
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Ja. x216=(x)2(4)2x^2-16=(\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2. Wir können das Differenz von Quadraten-Verfahren benutzen um mit dem Faktorisieren des Polynoms wie unten gezeigt weiterzumachen.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Es gibt nicht mehr quadratische Terme in dem Ausdruck. Wir haben das Polynom vollständig faktorisiert.
Schlussfolgerung, 5x280=5(x+4)(x4)5x^2-80=5(x+4)(x-4).

Beispiel 2: 4x2+12x+94x^2+12x+9 faktorisieren

Der quadratische Term ist wieder in der Standardform, Wir wollen mit der Checkliste beginnen!
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
No. Die Terme 4x24x^2, 12x12x und 99 haben keinen gemeinsamen Faktor. Nächste Frage.
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Es gibt einen xx-Term, daher kann dies keine Differenz von Quadraten sein. Nächste Frage.
Frage 3: ist es ein quadratisches Trinom?
Ja. Der erste Term ist ein Quadrat, da 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 und der letzte Term ist ein Quadrat, da 9=(3)29=(\greenD 3)^2. Auch ist der mittlere Term das zweifache des Produkts, die quadriert sind, da 12x=2(2x)(3)12x=2(\blueD{2x})(\greenD{3}).
Wir können das Verfahren für ein quadratisches Trinom benutzen, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Schlussfolgerung, 4x2+12x+9=(2x+3)24x^2+12x+9=(2x+3)^2.

Beispiel 3: 12x63+3x212x-63+3x^2 faktorisieren

Dieser quadratische Ausdruck ist momentan nicht in der Standardform. Wir können ihn als 3x2+12x633x^2+12x-63 umschreiben und dann die Checkliste abarbeiten.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 3x23x^2, 12x12x und 6363 ist 33. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
3x2+12x63=3(x2+4x21)3x^2+12x-63=3(x^2+4x-21)
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Nächste Frage.
Frage 3: Gibt es ein quadratisches Trinom?
Nein. Beachte, dass 2121 kein Quadrat ist, daher kann es kein quadratisches Trinom sein. Nächste Frage.
Frage 4a: Gibt es einen Ausdruck der Form x2+bx+cx^2+bx+c?
Ja. Das sich ergebende quadratische Ausdruck, x2+4x21x^2+4x-21, hat diese Form.
Frage 4b: Gibt es Faktoren von cc, die addiert bb ergeben?
Ja. Insbesondere gibt es die Faktoren 21-21, die addiert 44 ergeben.
Da 7(3)=217\cdot(-3)=-21 und 7+(3)=47+(-3)=4, können wir wie folgt mit dem Faktorisieren fortfahren:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Schlussfolgerung, 3x2+12x63=3(x+7)(x3)3x^2+12x-63=3(x+7)(x-3).

Beispiel 4: 4x2+18x104x^2+18x-10 faktorisieren

Beachte, dass dieser quadratische Ausdruck bereits die Standardform hat.
Frage 1: Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Ja. Der ggT von 4x24x^2, 18x18x und 1010 ist 22. Wir können ihn wie folgt ausklammern:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)4x^2+18x-10=2(2x^2+9x-5)
Frage 2: Gibt es eine Differenz von Quadraten?
Nein. Nächste Frage.
Frage 3: Gibt es ein quadratisches Trinom?
Nein. Nächste Frage.
Frage 4a: Gibt es einen Ausdruck der Form x2+bx+cx^2+bx+c?
Nein. Der führende Koeffizient bei dem quadratischen Faktor ist 22. Nächste Frage.
Frage 5: Gibt es Faktoren von acac, die addiert bb ergeben?
Der sich ergebende quadratische Ausdruck ist 2x2+9x52x^2+9x-5 und daher wollen wir Faktoren von 2(5)=102\cdot (-5)=-10 finden, die addiert 99 ergeben.
Da (1)10=10(-1)\cdot 10=-10 und (1)+10=9(-1)+10=9 ist die Antwort ja.
Wir können nun den mittleren Term schreiben als 1x+10x-1x+10x und das Gruppieren zum Faktorisieren nutzen:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Teile den mittleren Term auf=2((2x21x)+(10x5))Terme gruppieren=2(x(2x1)+5(2x1))ggTs ausklammern=2(2x1)(x+5)ausklammern von 2x1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Teile den mittleren Term auf}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{ggTs ausklammern}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{ausklammern von $2x-1$}}} \end{aligned}

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