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Strategie beim Faktorisieren von quadratischen Termen (Teil 1 von 2)

Video-Transkript

In anderen Videos werden verschiedene Techniken zum Faktorisieren quadratischer Ausdrücke besprochen. In anderen Videos werden verschiedene Techniken zum Faktorisieren quadratischer Ausdrücke besprochen. In diesem Video wollen wir trainieren, die jeweils günstigste Technik herauszufinden. In diesem Video wollen wir trainieren, die jeweils günstigste Technik herauszufinden. In diesem Video wollen wir trainieren, die jeweils günstigste Technik herauszufinden. Dazu schreibe ich nun eine Menge quadratischer Formeln nacheinander auf. Dazu schreibe ich nun eine Menge quadratischer Formeln nacheinander auf. Versucht doch einmal, den Ausdruck erst ganz allein zu faktorisieren, bevor wir das zusammen durchgehen. Versucht doch einmal, den Ausdruck erst ganz allein zu faktorisieren, bevor wir das zusammen durchgehen. Hier der erste Ausdruck: 6x Quadrat + 3x Haltet das Video an, und versucht es erstmal alleine! Haltet das Video an, und versucht es erstmal alleine! Beide Terme haben gemeinsame Faktoren: Beide Terme haben gemeinsame Faktoren: beide sind sowohl durch 3, als auch durch x teilbar. beide sind sowohl durch 3, als auch durch x teilbar. Wenn wir 3x aus dem Ausdruck ausklammern, bleiben 2x im einen Term und 1 im zweiten Term übrig. 3x (2x + 1) Mehr können wir nicht ausklammern. Mehr können wir nicht ausklammern. Beide Ausdrücke sind gleich, was wir leicht überprüfen können. Beide Ausdrücke sind gleich, was wir leicht überprüfen können. 3x mal 3x = 6x Quadrat, 3x mal 1 = 3x insgesamt also ebenfalls 6x Quadrat + 3x. 3x mal 3x = 6x Quadrat, 3x mal 1 = 3x insgesamt also ebenfalls 6x Quadrat + 3x. Damit sind wir hier fertig. In diesem Beispiel ging es um das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors. In diesem Beispiel ging es um das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors. Hier war das alles, was wir tun mussten. Das ist in der Regel ein guter erster Schritt. Überprüfe, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt, Überprüfe, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt, und falls ja, klammere ihn aus, das schadet nie. Lasst uns noch ein Beispiel nehmen: 4x Quadrat - 4x - 48 Und auch hier: Video anhalten, selbst lösen soweit ihr könnt! Das erste was auffällt ist der gemeinsame Faktor 4. Das erste was auffällt ist der gemeinsame Faktor 4. Alle drei Terme sind durch 4 teilbar. 4 ist ganz klar durch 4 teilbar, 48 ist auch durch 4 teilbar. 4 ist ganz klar durch 4 teilbar, 48 ist auch durch 4 teilbar. Klammern wir also 4 aus. Dann steht da also: 4 mal (x Quadrat - x - 12) Dann steht da also: 4 mal (x Quadrat - x - 12) Das erhalte ich, indem ich alle drei Terme durch 4 teile und dann ausklammere. Wer möchte, kann das ausmultiplizieren und damit überprüfen. Beide Ausdrücke sind gleich. Sind wir damit fertig? Natürlich nicht, wir können den Inhalt der Klammern weiter faktorisieren. Natürlich nicht, wir können den Inhalt der Klammern weiter faktorisieren. Wie machen wir das? Dazu müssen wir Folgendes erkennen: Der quadratische Ausdruck in der Klammer ist in Standardform geschrieben. Der quadratische Ausdruck in der Klammer ist in Standardform geschrieben. Der Term 2. Grades hat eine gedachte 1 als Coeffizient, -x ist der Term 1. Grades, Koeffizient gedacht - 1 -x ist der Term 1. Grades, Koeffizient gedacht - 1 und schließlich ist da noch die - 12 als konstanter Term (0. Grades) und schließlich ist da noch die - 12 als konstanter Term (0. Grades) Nun muss ich Folgendes wissen: Wenn x Quadrat den Koeffizient 1 hat, dann brauche ich zwei Zahlen, deren Summe den Koeffizienten des Terms 1. Grades ergibt ( - 1). deren Summe den Koeffizienten des Terms 1. Grades ergibt ( - 1). Welche zwei Zahlen mit Summe - 1 brauche ich? Nochmal: die - 1 steht dort nicht explizit, es ist der gedachte Koeffizient - 1 für - x, denn - x ist die Kurzform von - 1 mal x. Die beiden Zahlen, deren Summe - 1 ergibt müssen multipliziert - 12 ergeben. Also: a + b = - 1 und a x b = - 12 Das haben wir in anderen Videos besprochen, und nun gilt es zu erkennen, dass wir das hier verwenden können. und nun gilt es zu erkennen, dass wir das hier verwenden können. a x b muss also - 12 ergeben. Damit ist nun auch eine weitere Erkenntnis klar: Wenn das Produkt zweier Zahlen negativ sein soll, dann haben sie unterschiedliche Vorzeichen. dann haben sie unterschiedliche Vorzeichen. Eine von beiden muss positiv, die andere negativ sein. Eine von beiden muss positiv, die andere negativ sein. Bei gleichem Vorzeichen wären sie in jedem Fall ( - mal - oder + mal +) positiv. Wir benötigen nun zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. - 12 erhalte ich bei vielen Kombinationen zweier Zahlen. - 12 erhalte ich bei vielen Kombinationen zweier Zahlen. Das könnten zum Beispiel 1 und 12 sein. Bei - 1 mal 12 ergäbe a + b = -1 + 12 = 11. Bei - 1 mal 12 ergäbe a + b = -1 + 12 = 11. Umgekehrt erhält man aus a + b bei 1 - 12 = - 11. Umgekehrt erhält man aus a + b bei 1 - 12 = - 11. In beiden Fällen erhalten wir nicht die benötigte - 1. Für -2 und +6 oder +2 und -6 gilt das Gleiche, wir erhielten 4 oder -4, beides wäre falsch. Nun, was ist mit Kombinationen aus drei und vier. Nun, was ist mit Kombinationen aus drei und vier. - 3 + 4 wäre plus eins, also falsch, aber +3 und -4 ergibt addiert genau -1, das funktioniert also. aber +3 und -4 ergibt addiert genau -1, das funktioniert also. Das Produkt aus beiden ist - 12, Das Produkt aus beiden ist - 12, und addiert ergeben beide - 1. Den Ausdruck innerhalb der Klammern können wir faktorisieren, Den Ausdruck innerhalb der Klammern können wir faktorisieren, und zwar als Produkt zweier Binome. Das erste Binom ist damit x + 3 Das erste Binom ist damit x + 3 und das nächste Binom x + (-4), also x - 4 und das nächste Binom x + (-4), also x - 4 und damit sind wir auch hiermit fertig. Wenn euch das zu schnell geht, oder ihr den Rechenweg noch nicht kennt, dann schaut euch unbedingt die ersten Videos über das Faktorisieren von Polynomen an. dann schaut euch unbedingt die ersten Videos über das Faktorisieren von Polynomen an. Der Schlüssel zur Lösung ist nämlich, die benötigte Rechenmethode zu erkennen. Wir haben zuerst versucht, gemeinsame Faktoren auszuklammern. Wir haben zuerst versucht, gemeinsame Faktoren auszuklammern. Das haben wir in beiden Beispielen gemacht. Und dann haben wir im zweiten Beispiel erkannt: Hey der Koeffizient des Terms 2. Grades ist 1, und das Ganze steht in Standardform, Hey der Koeffizient des Terms 2. Grades ist 1, und das Ganze steht in Standardform, also brauchen wir zwei Zahlen, deren Summe gleich dem Koeffizient 1. Grades ist, also brauchen wir zwei Zahlen, deren Summe gleich dem Koeffizient 1. Grades ist, und deren Produkt den konstanten Term ergibt. und deren Produkt den konstanten Term ergibt. Damit haben wir +3 und -4 gefunden. So konnten wir das zweite Beispiel faktorisieren. Den ausführlichen Rechenweg könnt ihr in den einführenden Videos sehen. Lasst uns noch ein Beispiel rechnen. Wir können nie zuviel üben, daher gilt auch hier wieder: haltet das Video zuerst an und versucht euch selbst an der Lösung! Die Formel lautet: 3x Quadrat + 30x + 75 (Sal wird das x gleich ergänzen) Habt ihr es selbst versucht? Es fällt sofort auf, dass alle drei durch 3 teilbar sind. Es fällt sofort auf, dass alle drei durch 3 teilbar sind. - Sal ergänzt nun das x bei 30 - - Sal ergänzt nun das x bei 30 - Es tut mir leid, nun ist der Ausdruck komplett. Falls ihr eben verwirrt wart, haltet das Video nochmal an und versucht zu lösen bitte! Falls ihr eben verwirrt wart, haltet das Video nochmal an und versucht zu lösen bitte! Wenn man 3 ausklammert, erhält man: 3 x (x Quadrat + 10x + 25) Wenn man 3 ausklammert, erhält man: 3 x (x Quadrat + 10x + 25) Wenn man 3 ausklammert, erhält man: 3 x (x Quadrat + 10x + 25) Vielleicht erkennt ihr schon, das wir nochmal den gleichen Rechenweg verwenden können. Der Hauptkoeffizient ist 1 und der Ausdruck in Standardform. Der Hauptkoeffizient ist 1 und der Ausdruck in Standardform. Welche 2 Zahlen ergeben addiert 10, und multipliziert 25? Welche 2 Zahlen ergeben addiert 10, und multipliziert 25? Welche 2 Zahlen ergeben addiert 10, und multipliziert 25? Mit Zahlen die Beides erfüllen, kann ich faktorisieren. In diesem Beispiel sind beide Terme positiv. In diesem Beispiel sind beide Terme positiv. Damit weiss ich, ich brauche zwei positive Zahlen. Mit 1 und 25 funktioniert es nicht, denn a + b wäre = 26. Mit 1 und 25 funktioniert es nicht, denn a + b wäre = 26. Fünf mal fünf passt genau. 5 + 5 = 10 5 x 5 = 25 Mit der gleichen Rechenmethode wie eben, zuerst einen Faktor ausklammern, und dann die Klammer weiter faktorisieren, zuerst einen Faktor ausklammern, und dann die Klammer weiter faktorisieren, erhalten wir 3 x (x + 5) x (x + 5) oder 3 x (x + 5) zum Quadrat. erhalten wir 3 x (x + 5) x (x + 5) oder 3 x (x + 5) zum Quadrat. Einige von euch werden vielleicht sagen: "das kann ich doch anders lösen!" Einige von euch werden vielleicht sagen: "das kann ich doch anders lösen!" Ich hätte erkennen können, dass meine Konstante 25 eine Quadratzahl ist, also könnte der Ausdruck ein reiner quadratischer Ausdruck sein. Mit dem Anhalt im Hinterkopf hätte ich überlegen können, ob der ganze Ausdruck ein reines quadratisches Polynom ist. ob der ganze Ausdruck ein reines quadratisches Polynom ist. Ich hätte also die Quadratwurzel von 25 genommen, das ergibt 5, und überprüft, ob der Koeffizient von 10x gleich 2 x 5 ist. Da das stimmt, handelt es sich wohl um einen perfekten quadratischen Ausdruck. Da das stimmt, handelt es sich wohl um einen perfekten quadratischen Ausdruck. Es ist aber völlig egal, mit welcher Methode ihr zum Ergebnis kommt. Es ist aber völlig egal, mit welcher Methode ihr zum Ergebnis kommt. Mit beiden Rechenwegen oder Überlegungen wärt ihr auf die richtige Lösung gekommen. Mit beiden Rechenwegen oder Überlegungen wärt ihr auf die richtige Lösung gekommen. Mit beiden Rechenwegen oder Überlegungen wärt ihr auf die richtige Lösung gekommen.