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Faktorisiere quadratische Terme als (x+a)(x+b)

Video-Transkript

Diesen quadratischen Ausdruck hier, x² - 3x - 10, Diesen quadratischen Ausdruck hier, x² - 3x - 10, möchte ich in diesem Video als Produkt zweier Binome faktorisieren. möchte ich in diesem Video als Produkt zweier Binome faktorisieren. Um es anders auszudrücken: ich möchte diesen Ausdruck umformen, so dass er am Ende in der Form (x + a) mal (x + b) steht. (x + a) und (x + b) sind beides Binome. Dazu müssen wir herausfinden, welche Werte a und b haben müssen. Ich möchte euch dazu ermutigen, das Video für einen eigenen Versuch zu pausieren. Ich möchte euch dazu ermutigen, das Video für einen eigenen Versuch zu pausieren. Können wir diesen Ausdruck so umformen und die Werte für a und b ermitteln? Können wir diesen Ausdruck so umformen und die Werte für a und b ermitteln? Lasst uns das zusammen versuchen! Ich schreibe ab jetzt a in gelber Farbe und b in Magenta. Ich schreibe ab jetzt a in gelber Farbe und b in Magenta. Wir könnten einfach damit anfangen, diese beiden Binome zu multiplizieren. Wir könnten einfach damit anfangen, diese beiden Binome zu multiplizieren. Das haben wir in früheren Videos bereits gemacht. Sollte euch das an dieser Stelle zu schnell gehen, schaut euch diese Videos erst noch einmal an. Sollte euch das an dieser Stelle zu schnell gehen, schaut euch diese Videos erst noch einmal an. Das Ergebnis der Multiplikation der Binome auf der rechten Seite Das Ergebnis der Multiplikation der Binome auf der rechten Seite ist zunächst x mal x = x zum Quadrat, ist zunächst x mal x = x zum Quadrat, dann a mal x = ax, dann a mal x = ax, und als nächstes b mal x = bx. und als nächstes b mal x = bx. Ich werde die Schritte nochmal einzeln durchgehen, damit man es besser erkennen kann, Ich werde die Schritte nochmal einzeln durchgehen, damit man es besser erkennen kann, auch wenn die Rechenwege bekannt sein sollten. x Quadrat ergab sich aus x mal x, dann hatten wir a mal x = ax, und anschließend a mal b = bx. Wir multiplizieren also jeden einzelnen Term mit jedem anderen Term, und b mal x ergibt bx, daher addiere ich nun bx. und b mal x ergibt bx, daher addiere ich nun bx. Als letztes folgt a mal b, also addiere ich noch ab. Als letztes folgt a mal b, also addiere ich noch ab. Diesen Ausdruck können wir nun weiter vereinfachen, was ihr vielleicht schon im Kopf getan habt, wenn ihr schon fit im multiplizieren von Binomen seid. was ihr vielleicht schon im Kopf getan habt, wenn ihr schon fit im multiplizieren von Binomen seid. Ich kann den Ausdruck folgendermaßen umformen: zunächst x zum Quadrat, dann erkennen wir a und b jeweils mit x multipliziert werden. zunächst x zum Quadrat, dann erkennen wir a und b jeweils mit x multipliziert werden. Im Ausdruck ax + bx darf ich x ausklammern und erhalte dann (a + b) mal x. Im Ausdruck ax + bx darf ich x ausklammern und erhalte dann (a + b) mal x. Im Ausdruck ax + bx darf ich x ausklammern und erhalte dann (a + b) mal x. Daher addiere ich nun (a + b) mal x, Daher addiere ich nun (a + b) mal x, und addiere als letztes noch ab. und addiere als letztes noch ab. Nun können wir uns überlegen, welche Werte a und b haben müssen. Nun können wir uns überlegen, welche Werte a und b haben müssen. Wir können nun die Teile der beiden Ausdrücke gegenüberstellen, die gleichwertig sein müssen. Wir können nun die Teile der beiden Ausdrücke gegenüberstellen, die gleichwertig sein müssen. x Quadrat links bleibt auch rechts x Quadrat, dann - 3 mal x auf der linken Seite, dann - 3 mal x auf der linken Seite, und rechts (a + b) mal x, und rechts (a + b) mal x, man kann also annehmen, dass (a + b) zusammen - 3 ergeben muss. man kann also annehmen, dass (a + b) zusammen - 3 ergeben muss. Das notiere ich schonmal. a plus b müssen zusammen - 3 ergeben. Damit sind wir aber noch nicht fertig, wir müssen uns noch die letzten Terme anschauen. a x b muss in unserem Fall - 10 ergeben, auch das notiere ich. a x b muss in unserem Fall - 10 ergeben, auch das notiere ich. Was wir hier tun, gilt für das faktorisieren aller quadratischen Ausdrücke, Was wir hier tun, gilt für das faktorisieren aller quadratischen Ausdrücke, in denen der quadratische Term wie hier auch als 1 mal x^2 geschrieben werden könnte, in denen der quadratische Term wie hier auch als 1 mal x^2 geschrieben werden könnte, was wir uns hier nur im Kopf denken. was wir uns hier nur im Kopf denken. Dann brauchen wir zwei Zahlen, die zusammenaddiert den Koeffizienten vor "x" ergeben. Dann brauchen wir zwei Zahlen, die zusammenaddiert den Koeffizienten vor "x" ergeben. In unserem Fall müssen a und b addiert - 3 ergeben. Wenn ich die selben Zahlen multipliziere, muss ich - 10 erhalten. Wenn ich die selben Zahlen multipliziere, muss ich - 10 erhalten. Ich brauche also zwei Zahlen, die addiert den Koeffizienten des einwertigen Terms ergeben, Ich brauche also zwei Zahlen, die addiert den Koeffizienten des einwertigen Terms ergeben, und multipliziert dem konstanten Term entsprechen. und multipliziert dem konstanten Term entsprechen. Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert - 10? Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert - 10? Da das Ergebnis negativ ist, brauchen wir zwei unterschiedliche Vorzeichen. Da das Ergebnis negativ ist, brauchen wir zwei unterschiedliche Vorzeichen. Gleichzeitig sehen wir, dass beide Zahlen zusammenaddiert auch negativ sein müssen, Gleichzeitig sehen wir, dass beide Zahlen zusammenaddiert auch negativ sein müssen, daher muss die Zahl mit dem negativen Vorzeichen die größere von beiden sein. daher muss die Zahl mit dem negativen Vorzeichen die größere von beiden sein. 10 könnte man als 1 x 10 oder als 2 x 5 schreiben, 10 könnte man als 1 x 10 oder als 2 x 5 schreiben, dabei ist vor allem 2 x 5 interessant, da wir eine positive und eine negative Zahl brauchen, die addiert genau - 3 ergeben. da wir eine positive und eine negative Zahl brauchen, die addiert genau - 3 ergeben. Multipliziert müssen sie gleich - 10 sein, das erhält man auch durch - 2 mal + 5. Multipliziert müssen sie gleich - 10 sein, das erhält man auch durch - 2 mal + 5. Wenn wir - 2 und + 5 allerdings addieren, erhalten wir nicht wie gefordert - 3. Wenn wir - 2 und + 5 allerdings addieren, erhalten wir nicht wie gefordert - 3. Bei Addition der beiden erhalten wir + 3. Bei Addition der beiden erhalten wir + 3. Nehmen wir aber + 2 und - 5, dann erhalten wir bei Multiplikation immer noch - 10, Nehmen wir aber + 2 und - 5, dann erhalten wir bei Multiplikation immer noch - 10, und wenn wir die beiden addieren, also 2 minus 5 rechnen, erhalten wir genau - 3. also 2 minus 5 rechnen, erhalten wir genau - 3. Damit kennen wir nun unsere beiden Zahlen. Dabei spielt es keine Rolle, welche der beiden Zahlen wir für a, und welche wir für b nehmen. Dabei spielt es keine Rolle, welche der beiden Zahlen wir für a, und welche wir für b nehmen. In unserem Fall sei a gleich 2, und b sei - 5. In unserem Fall sei a gleich 2, und b sei - 5. Damit können wir unseren ursprünglichen Ausdruck umformen. x^2 - 3x - 10 ist dann gleich (x plus 2) mal (x plus (-5)). Anstelle von (x plus (-5)) können wir einfach (x - 5) schreiben. Anstelle von (x plus (-5)) können wir einfach (x - 5) schreiben. Diese Schritte schreibe ich hier nochmal einzeln auf, Diese Schritte schreibe ich hier nochmal einzeln auf, zunächst (x plus - 5), denn - 5 ist unser "b", zunächst (x plus - 5), denn - 5 ist unser "b", und dafür kann ich einfach x - 5 schreiben. Nun haben wir den Ursprungsausdruck oben links zum Produkt zweier Binome faktorisiert. Nun haben wir den Ursprungsausdruck oben links zum Produkt zweier Binome faktorisiert. Diesmal bin ich die Schritte einzeln und langsam durchgegangen. Diesmal bin ich die Schritte einzeln und langsam durchgegangen. Wenn ihr in Zukunft einen quadratischen Ausdruck mit "einmal" x hoch 2 seht, Wenn ihr in Zukunft einen quadratischen Ausdruck mit "einmal" x hoch 2 seht, dann wisst ihr, ihr braucht 2 Zahlen, die addiert dem Koeffizienten vor x entsprechend, dann wisst ihr, ihr braucht 2 Zahlen, die addiert dem Koeffizienten vor x entsprechend, und die selben Zahlen müssen multipliziert den konstanten Term des Ausdrucks ergeben. und die selben Zahlen müssen multipliziert den konstanten Term des Ausdrucks ergeben. Falls der konstante Term negativ ist, dann braucht ihr unterschiedliche Vorzeichen, Falls der konstante Term negativ ist, dann braucht ihr unterschiedliche Vorzeichen, denn wenn ich plus mal minus rechne, erhalte ich ein negatives Ergebnis. denn wenn ich plus mal minus rechne, erhalte ich ein negatives Ergebnis. In unserem Fall wussten wir, die Zahlen müssen multipliziert gleich - 10 sein, und eine der beiden Zahlen muss negativ sein, zusammenaddiert müssen sie gleich - 3 sein, also nahmen wir plus 2 und minus 5, denn dann ergaben beide addiert genau - 3. also nahmen wir plus 2 und minus 5, denn dann ergaben beide addiert genau - 3. In gleicher Weise könnt ihr ab jetzt alle ähnlichen quadratischen Ausdrücke umformen. In gleicher Weise könnt ihr ab jetzt alle ähnlichen quadratischen Ausdrücke umformen.