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Mehr Beispiele für das Faktorisieren von quadratischen Termen wie (x+a)(x+b)

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich einige Beispiele zum Faktorisieren eines Polynoms 2. Ordnung behandeln. In diesem Video möchte ich einige Beispiele zum Faktorisieren eines Polynoms 2. Ordnung behandeln. Welches oft auch als Quadrat bekannt ist. Manchmal auch quadratisches Polynom oder einfach Quadrat oder auch quadratischer Ausdruck, alles ist jedoch ein Polynom 2. Grades. Also etwas, dessen Variable von 2. Ordnung ist. Also etwas, dessen Variable von 2. Ordnung ist. In den folgenden Beispielen ist diese Variable einfach x. Nehmen wir den quadratischen Ausdruck: x² plus 10x plus 9. Ich möchte durch Faktorisieren daraus nun zwei Binome erhalten. Wie tun wir das? Stellen wir uns vor, wir nehmen x plus a, mal x plus b. Was passiert, wenn wir diese beiden miteinander multiplizieren? Darin haben wir ein wenig Erfahrung. Das hier ist x mal x, also x², plus x mal b, also bx, plus ax plus ab. Wir können diese beiden in der Mitte hier addieren, da diese beide x als Koeffizient haben. Wir können schreiben: x² plus -- entweder b plus a oder a plus b, mal x, plus ab. Wenn wir also annehmen, dass das hier das Produkt zweier Binome ist, sehen wir, dass der mittlere Koeffizient, der x-Term, bzw. Koeffizient 1. Ordnung hier, die Summe unseres a und b ist. Der konstante Term ist dann das Produkt unseres a und b. Schaut, das hier entspricht dem hier und das entspricht diesem hier. Schaut, das hier entspricht dem hier und das entspricht diesem hier. Und das hier ist natürlich das Gleiche wie hier. Können wir das hier auf dieses Beispiel anwenden? Gibt es ein a und b, dessen Summe gleich 10 ergibt? Der Faktor von a und b muss außerdem gleich 9 ergeben. Überlegen wir mal. Was sind Faktoren von 9? Was könnten a und b sein? (Ganze Zahlen) Was könnten a und b sein? (Ganze Zahlen) Wenn wir mit dem Faktorisieren anfangen, haben wir normalerweise ganze Zahlen vor uns. haben wir normalerweise ganze Zahlen vor uns. Was sind Faktoren von 9? Das wären 1, 3 und 9. Das hier könnte also 3 und 3 oder 1 und 9 sein. Bei 3 und 3 hätten wir 3 plus 3. Das ergibt nicht 10. Aber bei 1 und 9: 1 mal 9 ist 9, 1 plus 9 ergibt 10. Es funktioniert. a könnte also gleich 1 und b gleich 9 sein. Wir faktorisieren es also als x plus 1 mal x plus 9. Wenn ihr beide nun ausmultipliziert mit den Fähigkeiten, die wir in den letzten Videos gelernt haben, seht ihr, dass es in der Tat x² plus 10x plus 9 ist. Wenn ihr also so etwas Ähnliches seht, wenn der x²-Term-Koeffizient gleich 1 ist, könnt ihr schauen, welche zwei Zahlen ergeben addiert diesen Wert? Wessen Produkt 9 ergeben muss. Wessen Produkt 9 ergeben muss. Wessen Produkt 9 ergeben muss. Das hier muss in Standardform stehen. Wenn nicht, dann musst du es in diese Form bringen, damit du unabhängig vom 1. Koeffizient, sagst, dass a und b summiert das hier ergibt. vom 1. Koeffizient sagst, dass a und b summiert das hiert ergibt. Egal, was meine Konstante ist, a mal b muss das hier ergeben. Egal, was meine Konstante ist, a mal b muss das hier ergeben. Einige weitere Beispiele dazu. Je mehr Beispiele wir behandeln, desto mehr Sinn ergibt das alles hier. Je mehr Beispiele wir behandeln, desto mehr Sinn ergibt das alles hier. Nehmen wir: x² plus 10x plus -- ok, 10x hatten wir schon -- x² plus 15x plus 50. 10x hatten wir schon -- x² plus 15x plus 50. Das wollen wir faktorisieren. Nun, hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir haben einen x²-Term und einen x-Term. Wir haben einen x²-Term und einen x-Term. Das soll die Summe zweier Zahlen sein. Und dieser Term hier, die Konstante, soll das Produkt dieser Zahlen sein. Wir brauchen also Zahlen, die beim Multiplizieren 50 und beim Addieren 15 ergeben. Wir brauchen also Zahlen, die beim Multiplizieren 50 und beim Addieren 15 ergeben. Mit der Zeit werdet ihr diese spezielle Technik erlent haben. Mit der Zeit werdet ihr diese spezielle Technik erlent haben. Es kommt mit der Zeit. Was könnten a und b nun sein? Zuerst die Faktoren von 50. Es könnte 1 mal 50 sein. 2 mal 25. Nun, 4 passt nicht in 50. Es könnte 5 mal 10 sein. Das wären alle. Probieren wir, ob man diese hier zu 15 aufaddieren kann. 1 plus 50 ergibt nicht 15. 2 plus 25 ergibt nicht 15. 5 plus 10 jedoch ergibt 15. Das könnte also 5 plus 10 und das hier 5 mal 10 sein. Wenn wir das hier nun faktorisieren, erhalten wir x plus 5, mal x plus 10. Und dann ausmultiplizieren. Tut das und ihr seht, dass dann tatsächlich x² plus 15x plus 10 herauskommt. Versuchen wir es mal. x mal x ist x². x mal 10, plus 10x. 5 mal x, plus 5x. 5 mal 10, plus 50. Erinnert ihr euch? 5 mal 10 wurde zu 50. 5x plus 10x bringt uns unser 15x in der Mitte. Also ist es x² plus 15x plus 50. Legen wir die Latte ein wenig höher und nehmen negative Zahlen. Nehmen wir x² minus 11x plus 24. Wir haben das gleiche Prinzip. Ich benötige zwei Zahlen, die addiert -11 ergeben. Ich benötige zwei Zahlen, die addiert -11 ergeben. Ich benötige zwei Zahlen, die addiert -11 ergeben. Und multipliziert 24 ergeben. Schaut euch das nun genauer an. Beim Multiplizieren dieser Zahlen erhalte ich eine positive Zahl. Beim Multiplizieren dieser Zahlen erhalte ich eine positive Zahl. Ich erhalte eine 24. Das bedeutet, dass beide entweder positiv oder negativ sein müssen. Das bedeutet, dass beide entweder positiv oder negativ sein müssen. Nur so erhalte ich hier eine positive Zahl. Wenn ich nun also beide addiere, bekomme ich eine negative Zahl, wenn diese positiv wären, könnte ich mit der Addition keine negative Zahl bekommen. Da also ihre Summe negativ, ihr Produkt positiv ist, weiß ich, dass a und b beide negativ sind. a und b müssen negativ sein. Merke dir: Die Eine kann nicht negativ, die andere nicht positiv sein, da dann das produkt negativ wäre. Merke dir: Die Eine kann nicht negativ, die andere nicht positiv sein, da dann das produkt negativ wäre. Beide können auch nicht positiv sein, da man beim Addieren dieser eine positive Zahl erhalten würdest. Beide können auch nicht positiv sein, da man beim Addieren dieser eine positive Zahl erhalten würdest. Überlegen wir uns, was a und b denn sein könnten. Zwei negative Zahlen. Zuerst die Faktoren von 24. Negative sind auch möglich. Nun, es könnte 1 mal 24, 2 mal 11, 3 mal 8 oder 4 mal 6 sein. Nun, es könnte 1 mal 24, 2 mal 11, 3 mal 8 oder 4 mal 6 sein. Bei 1 mal 24 erhalte ich 24. Bei 2 mal 11-- Entschludigt, das ist 2 mal 12 erhalte ich 24. Von diesen wissen wir, ihr Produkt beträgt 24. Aber welche dieser Faktoren ergeben aufsummiert 11? Aber welche dieser Faktoren ergeben aufsummiert 11? Dann könnten wir sagen wir nehmen die negativen Zahlen davon. Dann könnten wir sagen wir nehmen die negativen Zahlen davon. Beim Hinsehen fallen einem 3 und 8 ins Auge. 3 mal 8 ist gleich 24. 3 plus 8 ist gleich 11. Funktioniert nicht so ganz. Wir haben nämlich hier eine -11. Was, wenn ich es mit -3 und -8 probiere? -3 mal -8 ist gleich 24. -3 plus -8 ergibt -11. -3 und -8 funktionieren also. Nun faktorisieren wir es. x² - 11x plus 24 ist gleich x minus 3 mal x minus 8. Nun faktorisieren wir es. x² - 11x plus 24 ist gleich x minus 3 mal x minus 8. Machen wir nochmal ein ähnliches Beispiel. Mischen wir ein wenig durch. Sagen wir ich hätte x² plus 5x minus 14. Wir haben hier eine andere Situation. Das Produkt meiner beiden Zahlen ist negativ, richtig? a mal b ergibt -14. Das Produkt meiner beiden Zahlen ist negativ, richtig? a mal b ergibt -14. Mein Produkt wird negativ. Das sagt mir, dass eine davon positiv und eine negativ ist. Das sagt mir, dass eine davon positiv und eine negativ ist. Wenn ich beide addiere, erhalte ich 5. Überlegen wir uns Faktoren für 14. Bei welcher Kombination, Addieren beide Zahlen, eine positiv, eine negativ, also eher die Differenz beider, erhalte ich 5? Bei welcher Kombination, Addieren beide Zahlen, eine positiv, eine negativ, also eher die Differenz beider, erhalte ich 5? Bei welcher Kombination, Addieren beide Zahlen, eine positiv, eine negativ, also eher die Differenz beider, erhalte ich 5? Ich versuche mal 1 und 14, -1 plus 14 ist 13. Ich versuche mal 1 und 14, -1 plus 14 ist 13. -1 plus 14 ergibt 13. Ich schreibe mal jede mögliche Kombination auf. Vielleicht kommt ihr dann automatisch drauf. Wir haben also -1 plus 14 ist gleich 13. Und 1 plus -14 ist gleich -13. Geht also nicht. Das ergibt nicht 5. Wie wärs mit 2 und 7? Wenn ich -2 nehme -- nehmen wir eine andere Farbe -- wenn ich -2 plus 7 mache, erhalte ich 5. Fertig! Das hat geklappt! Wir hätten auch 2 plus -7 versuchen können, aber das wäre gleich -5, also nicht richtig. Aber -2 plus 7 klappt. -2 mal 7 ist gleich -14. Da haben wirs. Wir sehen, es ist x minus 2, mal x plus7. Sieht gut aus. -2 mal 7 ist -14. -2 plus 7 ist 5. Lasst uns ein paar weitere Beispiele machen, um das alles zu verfeinern. Lasst uns ein paar weitere Beispiele machen, um das alles zu verfeinern. Sagen wir ich habe x ² minus x minus 56. Das Produkt der beiden Zahlen muss -56 ergeben. Das Produkt der beiden Zahlen muss -56 ergeben. Und deren Differenz, da ja eine davon positiv und eine negativ ist, wird negativ. Ihre Differenz muss -1 betragen. Die Zahlen, die zumindest mir sofort ins Gewissen kommen, Die Zahlen, die zumindest mir sofort ins Gewissen kommen, wie in der Faktortabelle vorhin, sind 8 mal 7, ergibt 56. Es gibt noch weitere. Es wäre auch 28 mal 2. Alles mögliche... 8 und 7 jedoch kam mir schnell ins Gewissen, da sie sehr nah beieinander sind. Und solche Zahlen brauchen wir. Und eine der beiden muss positiv, die andere negativ sein. Und eine der beiden muss positiv, die andere negativ sein. Der Aspekt, dass deren Summe negativ ist, sagt mir, dass die größere der beiden die negative sein muss. Nehmen wir -8 mal 7, das ergibt -56. Und dann machen wir -8 plus 7, das ist gleich -1, was genau dieser Koeffizient hier ist. Wenn ich das nun also faktorisiere, haben wir x minus 8, mal x plus 7. Wenn ich das nun also faktorisiere, haben wir x minus 8, mal x plus 7. Das ist der schwierigste Teil der Algebra, da es ein Stück weit auch eine Kunst is. Ihr müsst euch jeden dieser Faktoren ansehen, mit Plus- und Minus-Vorzeichen spielen, und dann, wenn einer positiv und einer negativ ist, zum Koeffizienten des x-Terms aufaddieren. Doch je mehr ihr übt, desto mehr Gefühl bekommt ihr dabei. Legen wir die Latte nun noch etwas höher. Nehmen wir -x² -- alles, was wir bisher gemacht haben, hatte einen positiven Koeffizienten, ein plus 1 beim x²-Term. Jetzt nehmenwir aber -x² minus 5x plus 24. Jetzt nehmenwir aber -x² minus 5x plus 24. Wie lösen wir das? Das einfachste wäre, die -1 herauszufaktorisieren, dann geht es genauso wie die vorherigen Beispiele. Das ist also das Gleiche wie -1 mal, x² plus 5x minus 24. Das ist also das Gleiche wie -1 mal, x² plus 5x minus 24. Ich habe die -1 ausgeklammert. Beim Multiplizieren des Terms mit -1 bekommt ihr das. Beim Multiplizieren des Terms mit -1 bekommt ihr das. Oder -1 ausklammern und all diese hier durch -1 teilen. Oder -1 ausklammern und all diese durch -1 teilen. Und ihr kriegt das hier. Jetzt die gleiche Vorgehensweise wie vorhin. Ich brauche zwei Zahlen, dessen Produkt 24 ist. Ich brauche zwei Zahlen, dessen Produkt 24 ist. Eine wird positiv, eine negativ sein. Deren Summe gibt dann 5. Was ist 24? Nun, 1 und 24... Wenn das hier -1 und 24 ist, hätten wir 23, verkehrt herum hätten wir -23. Klappt nicht. Wie wärs mit 2 und 12? Wenn das hier negativ -- merkt euch, eine davon muss negativ sein. Wenn das hier negativ -- merkt euch, eine davon muss negativ sein. Wenn 2 negativ ist, wäre ihre Summe 10. Wenn 12 negativ ist, wäre ihre Summe -10. Geht immer noch nicht. 3 und 8. Wenn 3 negativ ist, wäre ihre Summe 5. Das klappt! Wenn wir -3 und 8 probieren, funktioniert es also. Denn -3 plus 8 ist 5. -3 mal 8 ergibt -24. Das ist gleich -- die -1 vorne nicht vergessen, dann faktorisieren wir innerhalb der Klammer. -1 mal, x minus 3, mal x plus 8. Ihr könnt auch mal -1 rechnen, dann würdet ihr 3 minus x erhalten. dann würdet ihr 3 minus x erhalten. Das müsst ihr aber nicht. Davon noch ein Beispiel. Je mehr Übung, desto besser. Sagen wir ich hätte -x² plus 18x minus 72. Sagen wir ich hätte -x² plus 18x minus 72. Hier wieder die -1 ausklammern. Das ist gleich -1 mal, x² minus 18x plus 72. Das ist gleich -1 mal, x² minus 18x plus 72. Wir brauchen Zahlen, die beim Multiplizieren 72 ergeben. Wir brauchen Zahlen, die beim Multiplizieren 72 ergeben. Sie müssen das gleiche Vorzeichen haben. Das macht es deutlich einfacher. Wenn ich sie multipliziere, bekomme ich 72. Beim addieren erhalte ich -18. Beide haben also gleiches Vorzeichen und ihre Summe ist negativ, also müssen beide negativ sein. Wir können alle Faktoren von 72 durchgehen, aber die Zahlen 8 und 9 kommen einem ins Gewissen, 8 mal 9 oder -8 minus 9 oder -8 plus -9, das funktioniert nicht. Das wird zu 17. Sehr knapp. Hier: -9 plus -8 ist gleich -17. Knapp daneben ist auch vorbei. Wir haben noch 6 und 12. Das sieht eigentlich gut aus. Wenn wir haben: -6 plus -12 ist gleich -18. Es ist ein wenig Kunst. Ihr müsst die verschiedenen Faktoren ausprobieren. Das wird also zu -1 -- nicht vergessen -- mal, x minus 6, mal x minus 12.