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Quadratische Terme faktorisieren: Leitkoeffizient = 1

Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Was du für diese Lektion wissen musst

Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess einer Polynom-Multiplikation um. Um darüber mehr zu erfahren, probiere unseren vorherigen Artikel zu Gemeinsame Faktoren bilden.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du wie du ein Polynom der Form x2+bx+c als ein Produkt von zwei Binomen faktorisierst.

Wiederholung: Binome multiplizieren

Betrachten wir den Ausdruck (x+2)(x+4).
Wir finden das Produkt durch die mehrmalige Anwendung des Distributivgesetzes.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Dann erhalten wir (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Daraus sehen wir, dass x+2 und x+4 Faktoren von x2+6x+8 sind, aber wie würden wir diese Faktoren herausfinden, wenn wir nicht mit diesen beginnen?

Trinome faktorisieren

Wir können den Prozess der oben gezeigten Binom-Multiplikation umkehren um ein Trinom (was ein Polynom mit 3 Termen ist) zu faktorisieren.
Mit anderen Worten, wenn wir mit dem Polynom x2+6x+8 beginnen, können wir das Faktorisieren benutzen um es als ein Produkt von zwei Binomen , (x+2)(x+4), zu schreiben.
Wir wollen uns ein paar Beispiele anschauen, um zu sehen wie dies gemacht wird.

Beispiel 1: x2+5x+6 ausklammern

Um x2+5x+6 zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die zu 6 multipliziert werden (der konstanten Zahl) und zu 5 addieren (dem x-Koeffizient).
Diese zwei Zahlen sind 2 und 3, da 23=6 und 2+3=5.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: (x+2) und (x+3).
Als Schlussfolgerung faktorisieren wir die Trinome wie folgt:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Um die Faktorisierung zu prüfen, können wir die zwei Binome multiplizieren:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Das Produkt von x+2 und x+3 ist in der Tat x2+5x+6. Unsere Faktorisierung ist richtig!

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Faktorisiere x2+7x+10.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere x2+9x+20.

Wir wollen uns ein paar Beispiele mehr anschauen und sehen was wir von ihnen lernen können.

Beispiel 2: x25x+6 ausklammern

Um x25x+6 zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert 6 ergeben und die addiert 5 ergeben.
Diese zwei Zahlen sind 2 und 3, da (2)(3)=6 und (2)+(3)=5.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: (x+(2)) und (x+(3)).
Die Faktorisierung ist unten dargestellt.
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Faktorsierungsschema: Beachte, das die Zahlen, die benötigt werden um x25x+6 zu faktorisieren, beide negativ sind (2 und 3). Dies ist so, weil deren Produkt positiv (6) und deren Summe negativ (5) sein muss.
Im allgemeinen sind, wenn wir x2+bx+c faktorisieren, wenn c positiv und b negativ ist, beide Faktoren negativ!

Beispiel 3: x2x6 ausklammern

Wir können x2x6 als x21x6 schreiben.
Um x21x6 zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert 6 ergeben und die addiert 1 ergeben.
Diese zwei Zahlen sind 2 und 3, da (2)(3)=6 und 2+(3)=1.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: (x+2) und (x+(3)).
Die Faktorisierung ist unten dargestellt.
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Faktorisierungschema: Beachte, dass wir, um x2x6 zu faktorisieren, eine positive Zahl (2) und eine negative Zahl (3) benötigen. Dies ist so, weil deren Produkt negativ sein muss (6).
Im allgemeinen ist, wenn wir x2+bx+c faktorisieren, wenn c negativ ist, ein Faktor positiv und ein Faktor negativ !

Zusammenfassung

Im allgemeinen müssen wir um ein Trinom der Form x2+bx+c zu faktorisieren, die Faktoren von c finden, die addiert b ergeben.
Nehmen wir an, diese zwei Zahlen sind m und n, so dass c=mn und b=m+n, dann ist x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Faktorisiere x28x9.

4) Faktorisiere x210x+24.

5) Faktorisiere x2+7x30.

Warum funktioniert das?

Um zu verstehen, warum diese Faktorisierungsmethode funktioniert, wollen wir zu dem Ursprungsbeispiel zurückkehren, bei dem wir x2+5x+6 als (x+2)(x+3) faktorisierten.
Wenn wir zurückgehen und die zwei Binome multiplizieren, können wir den Effekt sehen, dass die 2 und die 3 das Produkt x2+5x+6 ergeben.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Wir sehen, dass der Koeffizient des x-Terms die Summe von 2 und 3 ist, und der konstante Term das Product von 2 und 3 ist.

Das Summen-Produkt-Schema

Wir wollen wiederholen, was wir mit (x+2)(x+3) gemacht haben, für (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Um diesen Prozess zusammenzufassen, erhalten wir die folgende Gleichung:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Dies wird das Summem-Produkt-Schema genannt.
Es zeigt, wenn wir ein Trinom x2+bx+c als x2+(m+n)x+mn ausdrücken (indem wir zwei Zahlen m und n finden, so dass b=m+n und c=mn), warum wir dieses Trinom als (x+m)(x+n) faktorisieren können.

Eine Frage zum Nachdenken

6) Kann diese Faktorisierungsmethode benutzt werden um 2x2+3x+1 zu faktorisieren?
Wähle eine Lösung.

Wann können wir diese Methode zum Faktorisieren verwenden?

Im allgemeinen ist die Summen-Produkt-Methode nur anwendbar, wenn wir ein Trinom als (x+m)(x+n) für die ganzen Zahlen m und n schreiben können.
Dies bedeutet, dass der führende Term des Trinoms x2 sein muss (und nicht etwa 2x2) um diese Methode überhaupt zu erwägen. Dies ist so, weil das Produkt von (x+m) und (x+n) immer ein Polynom mit einem führenden Term x2 ist.
Aber nicht alle Trinome mit x2 als führendem Term können faktorisiert werden. Zum Beispiel kann x2+2x+2 nicht faktorisiert werden, weil es keine zwei ganze Zahlen gibt, deren Summe 2 und deren Produkt 2 ist.
In späteren Lektionen lernen wir weitere Möglichkeiten zum Faktorisieren von Polynomen.

Challenge Aufgaben

7*) Faktorisiere x2+5xy+6y2.

8*) Faktorisiere x45x2+6.

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