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Quadratische Terme faktorisieren: Leitkoeffizient = 1

Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Was du für diese Lektion wissen musst

Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess einer Polynom-Multiplikation um. Um darüber mehr zu erfahren, probiere unseren vorherigen Artikel zu Gemeinsame Faktoren bilden.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du wie du ein Polynom der Form x, squared, plus, b, x, plus, c als ein Produkt von zwei Binomen faktorisierst.

Wiederholung: Binome multiplizieren

Betrachten wir den Ausdruck left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Wir finden das Produkt durch die mehrmalige Anwendung des Distributivgesetzes.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Dann erhalten wir left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Daraus sehen wir, dass x, plus, 2 und x, plus, 4 Faktoren von x, squared, plus, 6, x, plus, 8 sind, aber wie würden wir diese Faktoren herausfinden, wenn wir nicht mit diesen beginnen?

Trinome faktorisieren

Wir können den Prozess der oben gezeigten Binom-Multiplikation umkehren um ein Trinom (was ein Polynom mit 3 Termen ist) zu faktorisieren.
Mit anderen Worten, wenn wir mit dem Polynom x, squared, plus, 6, x, plus, 8 beginnen, können wir das Faktorisieren benutzen um es als ein Produkt von zwei Binomen , left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, zu schreiben.
Wir wollen uns ein paar Beispiele anschauen, um zu sehen wie dies gemacht wird.

Beispiel 1: x, squared, plus, 5, x, plus, 6 ausklammern

Um x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die zu start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff multipliziert werden (der konstanten Zahl) und zu start color #e07d10, 5, end color #e07d10 addieren (dem x-Koeffizient).
Diese zwei Zahlen sind start color #11accd, 2, end color #11accd und start color #1fab54, 3, end color #1fab54, da start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 und start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis und left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Als Schlussfolgerung faktorisieren wir die Trinome wie folgt:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Um die Faktorisierung zu prüfen, können wir die zwei Binome multiplizieren:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Das Produkt von x, plus, 2 und x, plus, 3 ist in der Tat x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Unsere Faktorisierung ist richtig!

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Faktorisiere x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

2) Faktorisiere x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Wir wollen uns ein paar Beispiele mehr anschauen und sehen was wir von ihnen lernen können.

Beispiel 2: x, squared, minus, 5, x, plus, 6 ausklammern

Um x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff ergeben und die addiert start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10 ergeben.
Diese zwei Zahlen sind start color #11accd, minus, 2, end color #11accd und start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, da left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 und left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis und left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Die Faktorisierung ist unten dargestellt.
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Faktorsierungsschema: Beachte, das die Zahlen, die benötigt werden um x, squared, minus, 5, x, plus, 6 zu faktorisieren, beide negativ sind left parenthesis, minus, 2 und minus, 3, right parenthesis. Dies ist so, weil deren Produkt positiv left parenthesis, 6, right parenthesis und deren Summe negativ left parenthesis, minus, 5, right parenthesis sein muss.
Im allgemeinen sind, wenn wir x, squared, plus, b, x, plus, c faktorisieren, wenn c positiv und b negativ ist, beide Faktoren negativ!

Beispiel 3: x, squared, minus, x, minus, 6 ausklammern

Wir können x, squared, minus, x, minus, 6 als x, squared, minus, 1, x, minus, 6 schreiben.
Um x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff ergeben und die addiert start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10 ergeben.
Diese zwei Zahlen sind start color #11accd, 2, end color #11accd und start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, da left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 und start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Wir können dann jede dieser Zahlen zu x addieren, um die zwei Binome zu bilden: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis und left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Die Faktorisierung ist unten dargestellt.
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Faktorisierungschema: Beachte, dass wir, um x, squared, minus, x, minus, 6 zu faktorisieren, eine positive Zahl left parenthesis, 2, right parenthesis und eine negative Zahl left parenthesis, minus, 3, right parenthesis benötigen. Dies ist so, weil deren Produkt negativ sein muss left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
Im allgemeinen ist, wenn wir x, squared, plus, b, x, plus, c faktorisieren, wenn c negativ ist, ein Faktor positiv und ein Faktor negativ !

Zusammenfassung

Im allgemeinen müssen wir um ein Trinom der Form x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff zu faktorisieren, die Faktoren von start color #aa87ff, c, end color #aa87ff finden, die addiert start color #e07d10, b, end color #e07d10 ergeben.
Nehmen wir an, diese zwei Zahlen sind m und n, so dass c, equals, m, n und b, equals, m, plus, n, dann ist x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Faktorisiere x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Faktorisiere x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Faktorisiere x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

Warum funktioniert das?

Um zu verstehen, warum diese Faktorisierungsmethode funktioniert, wollen wir zu dem Ursprungsbeispiel zurückkehren, bei dem wir x, squared, plus, 5, x, plus, 6 als left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis faktorisierten.
Wenn wir zurückgehen und die zwei Binome multiplizieren, können wir den Effekt sehen, dass die start color #11accd, 2, end color #11accd und die start color #1fab54, 3, end color #1fab54 das Produkt x, squared, plus, 5, x, plus, 6 ergeben.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Wir sehen, dass der Koeffizient des x-Terms die Summe von start color #11accd, 2, end color #11accd und start color #1fab54, 3, end color #1fab54 ist, und der konstante Term das Product von start color #11accd, 2, end color #11accd und start color #1fab54, 3, end color #1fab54 ist.

Das Summen-Produkt-Schema

Wir wollen wiederholen, was wir mit left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis gemacht haben, für left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Um diesen Prozess zusammenzufassen, erhalten wir die folgende Gleichung:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Dies wird das Summem-Produkt-Schema genannt.
Es zeigt, wenn wir ein Trinom x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff als x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 ausdrücken (indem wir zwei Zahlen start color #11accd, m, end color #11accd und start color #1fab54, n, end color #1fab54 finden, so dass start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 und start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), warum wir dieses Trinom als left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis faktorisieren können.

Eine Frage zum Nachdenken

6) Kann diese Faktorisierungsmethode benutzt werden um 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 zu faktorisieren?
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Wann können wir diese Methode zum Faktorisieren verwenden?

Im allgemeinen ist die Summen-Produkt-Methode nur anwendbar, wenn wir ein Trinom als left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis für die ganzen Zahlen m und n schreiben können.
Dies bedeutet, dass der führende Term des Trinoms x, squared sein muss (und nicht etwa 2, x, squared) um diese Methode überhaupt zu erwägen. Dies ist so, weil das Produkt von left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis und left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis immer ein Polynom mit einem führenden Term x, squared ist.
Aber nicht alle Trinome mit x, squared als führendem Term können faktorisiert werden. Zum Beispiel kann x, squared, plus, 2, x, plus, 2 nicht faktorisiert werden, weil es keine zwei ganze Zahlen gibt, deren Summe 2 und deren Produkt 2 ist.
In späteren Lektionen lernen wir weitere Möglichkeiten zum Faktorisieren von Polynomen.

Challenge Aufgaben

7*) Faktorisiere x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Faktorisiere x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.