Freiwurfwahrscheinlichkeit

Hi Leute, ich bin LeBron. ich habe eine kleine Denkaufgabe für euch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man 10 Freiwürfe hintereinander wirft? Mein guter Freund Sal gibt euch die Antwort. Das ist eine super Frage, LeBron. Und ich glaube, dass euch die Antwort überraschen wird. Ich habe mit hierzu deine bisherige Freiwurfquote angesehen. Die liegt ungefähr bei 75%. Das ist ein bisschen besser als meine Freiwurfquote. Wie können wir uns das vorstellen? Nehmen wir an, dass eine Million LeBron James, oder jede andere große Anzahl an LeBron James, einen Freiwurf nimmt. Diese Linie hier stellt alle LeBrons dar, die den ersten Freiwurf werfen. Wir nennen sie Freiwurf Nummer 1. Wir würden erwarten, dass 75% von ihnen den ersten Freiwurf treffen würden. Lasst mich jetzt 75% hier eintragen. Das hier ist ungefähr die Mitte, und das hier circa 25%. Dann haben wir hier die 75%. Also würden wir erwarten, dass 75% den ersten Freiwurf treffen. 75%, und dann die restlichen 25%, von denen wir erwarten, dass sie den ersten Wurf vermasseln. Nun interessieren uns nur diejenigen, die weiterhin Freiwürfe machen. Wir wollen ja zehn hintereinander! Lasst uns also auf die 75% konzentieren, die den ersten Wurf getroffen haben. Einige von den restlichen 25% machen vielleicht trotzdem weiter Freiwürfe, aber darum kümmern wir uns jetzt nicht mehr. Sie sind raus aus dem Spiel. Nun gehen wir weiter zu Wurf Nummer 2. Freiwurf...Nummer 2 Wieviel Prozent der LeBrons, die den ersten Freiwurf getroffen haben, würden wohl den zweiten Wurf treffen? Dazu nehmen wir an, dass egal ob man den ersten Wurf getroffen hat oder nicht, man beim zweiten Wurf wieder die gleiche Trefferquote hat. Die Trefferwahrscheinlichkeit von LeBron bleibt also immer gleich. Wir nehmen deswegen an, dass 75% dieser LeBrons, auch den zweiten Wurf treffen. Daher nehmen wir 75% von den 75%. Das hier ist ungefähr die Hälfte der 75%, das hier circa ein Viertel. Dann sind das hier drei Viertel, was 75% sind. Also genau hier drüben. Dies stellt also alle dar, die den ersten und den zweiten Wurf getroffen haben. Also könnte man sagen, dass diese der Prozentsatz derjenigen Spieler ist, die die beiden ersten Würfe getroffen haben. Diese Strecke hier ist also 75% mal 75%. 75% mal 75% hier drüben. Ich denke, dass ihr jetzt langsam das Muster hier erkennt. Gehen wir nun zum 3. Freiwurf. Freiwurf Nummer 3. Wieviel Prozent der Spieler werden also auch den 3. Wurf treffen? Nun, 75% werden den 3. Wurf auch treffen. Also, 75 % werden den 3. Wurf auch treffen. Wieviel wird das sein? Das wird genau 75%, 75% von dieser Nummer, von dieser Strecke, was 75% von 75% sind. und wenn man das wiederholt bis zum 10. Wurf, Ihr erkennt nun bestimmt das Muster, (wenn wir immer weiter bis zum 10. Wurf gehen), ich werde jetzt hier ein paar überspringen, dann werden wir hier unten einen sehr, sehr kleinen Anteil erhalten, die alle zehn Würfe getroffen haben. Das wird genau ergeben 75% mal 75% mal 75%... 10 mal: 75%, zehnmal multipliziert. Das ist alles was übrig bleiben wird, 75% mal 75% (ich werde das jetzt hier einfach kopieren) (damit es nicht ewig dauert) (ein paar mal noch...Zeit ist rum) (die Rechenzeichen werde ich später dazufügen) (und vier....sechs....acht...) (...und 10. Fertig) (lasst mich noch kurz die Rechenzeichen reinmachen) ... Also dieser kleine Anteil, der alle zehn reingemacht hat, soll nun gleich dem hier drüben sein. 75% von...1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 75% müssen dazu zehnmal miteinander multipliziert werden. Nun, dies würde nun ewig dauern, wenn man es von Hand rechnet. Auch mit einem Taschenrechner müsste ich das alles ert einmal eintippen. Da mache ich bestimmt Fehler. Aber glücklicherweise gibt es dafür einen mathematischen Operator, der genau diese wiederholten Multiplikationen abbildet. Dazu muss man exponenzieren. Eine andere Möglichkeit, um das hier zu schreiben, (hier drüber), ist: 75% hoch 10. Immer wieder 75% multiplizieren - 10 mal. Diese Ausdrücke sind genau identisch. und 75 Prozent - das Wort "Pro-Zent" heißt wörtlich "pro Hundert" Vielleicht erkennt ihr den Wortstamm "zent". Von Dingen wie "Zentner". 100 Kilo sind ein Zentner. Es bedeutet also wörtlich "pro Hundert". Wir können also schreiben: 75 geteilt durch 100 hoch 10 was genau das gleiche ist wie 0.75 hoch 10. Lasst uns nun den Taschenrechner rausholen und sehen, was das ergibt. Also: 0.75...hoch 10. das ergibt: 0.056. und ich werde nun auf das nächste Hundertstel aufrunden Wenn wir also aufrunden, dann ergibt das 0.06. Das ist ungefähr gleich (wenn wir auf das nächste Hundertstel aufrunden): 0.06 das anders gesagt, grob aufgerundet 6 Prozent ergibt, dass man alle 10 Freiwürfe hintereinander trifft. Obwohl man also eine recht hohe Freiwurfquote hat, ist die Wahrscheinlichkeit also nicht sehr hoch. Das ist ein bisschen besser als einer von zwanzig Versuchen. Nun: Ich hoffe, dass ihr eines hier mitgenommen habt, wenn ihr das gesehen habt. Ihr solltet nun jedem sagen können, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass er 10 Freiwürfe hintereinander trifft, wenn ihr seine Freiwurfquote kennt. Wie könnt ihr das rausfinden? Nun, behaltet einfach das Muster hier drüber im Kopf. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand "n" Freiwürfe macht, wobei "n" die Anzahl an Freiwürfen hintereinander ist also n Freiwürfe hintereinander für jeden, nicht nur für LeBron, ergibt sich aus der Freiwurfquote in LeBrons Fall 75%, hoch die Anzahl an Freiwürfen, die man hintereinander reinmachen will. Also hoch n Beispiel: Du möchtest das ganze für deine eigenen Freiwurfquote wissen. Wenn deine Freiwurfquote nun, sagen wir, 60% ist, was das gleiche ist wie 0.6. Dann bekommst du für diese 60% Trefferquote eine Wahrscheinlichkeit für 5 Würfe hintereinander, man rechnet also hoch 5, von ungefähr wenn man es wieder aufrundet ungefähr 8%. Ich hoffe sehr, dass ihr das alle mal ausprobiert mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten und verschiedenen Anzahlen an Würfen, die ihr hintereinander treffen wollt.