Beweis der Quadratformel

Du weißt schon: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 findest du mit der Quadratformel. Du weißt schon: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 findest du mit der Quadratformel. Du weißt schon: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 findest du mit der Quadratformel. Du weißt schon: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 findest du mit der Quadratformel. Die Quadratformel sieht folgendermaßen aus: [Formel siehe oben] [Formel siehe oben] [Formel siehe oben] Wir haben gelernt, diese Formel zu verwenden. Wir haben Zahlen für a, b und c eingesetzt und bekamen zwei Lösungen, weil wir plus und minus nehmen müssen. und bekamen zwei Lösungen, weil wir plus und minus nehmen müssen. In diesem Video möchte ich dir zeigen, dass ich die untere Gleichung aus der oberen erhalten kann. In diesem Video möchte ich dir zeigen, dass ich die untere Gleichung aus der oberen erhalten kann. In diesem Video möchte ich dir zeigen, dass ich die untere Gleichung aus der oberen erhalten kann. In diesem Video möchte ich dir zeigen, dass ich die untere Gleichung aus der oberen erhalten kann. Ich schreibe die Gleichung noch einmal auf: Ich schreibe die Gleichung noch einmal auf: Ich schreibe die Gleichung noch einmal auf: Zuerst dividiere ich alles durch a, damit ich 1 als Koeffizienten für x² erhalte. Zuerst dividiere ich alles durch a, damit ich 1 als Koeffizienten für x² erhalte. So erhalte ich folgende Gleichung: 0 dividiert durch a ist immer noch 0. Jetzt bringen wir den Term c/a nach rechts: Wir subtrahieren c/a auf beiden Seiten. Jetzt bringen wir den Term c durch a nach rechts: Wir subtrahieren c durch a von beiden Seiten. Jetzt bringen wir den Term c durch a nach rechts: Wir subtrahieren c durch a von beiden Seiten. Dann erhalten wir: Hier lasse ich etwas Platz, um das Quadrat zu ergänzen. Hier lasse ich etwas Platz, um das Quadrat zu ergänzen. Im vorherigen Video haben wir den Koeffizienten halbiert und ihn dann quadriert. Im vorherigen Video haben wir den Koeffizienten halbiert und ihn dann quadriert. Im vorherigen Video haben wir den Koeffizienten halbiert und ihn dann quadriert. b/a dividiert durch 2 (oder 1/2*b/a) ist b/2a. b/a dividiert durch 2 (oder 1/2*b/a) ist b/2a. b/a dividiert durch 2 (oder 1/2*b/a) ist b/2a. Und das quadrieren wir. Zuerst die Hälfte nehmen, dann quadrieren: b/2a zum Quadrat. Zuerst die Hälfte nehmen, dann quadrieren: b/2a zum Quadrat. Damit wird es zum Quadrat eines Binoms. Jetzt müssen wir b/2a zum Quadrat auch rechts addieren. Jetzt müssen wir b/2a zum Quadrat auch rechts addieren. Jetzt müssen wir b/2a zum Quadrat auch rechts addieren. Hier steht also auch plus b/2a zum Quadrat. Und jetzt? Der Term links ist gleich (x + b/2a) zum Quadrat. Der Term links ist gleich (x + b/2a) zum Quadrat. Der Term links ist gleich (x + b/2a) zum Quadrat. Wenn du mir nicht glaubst, dann kann ich es ausmultiplizieren: x mal x ist x zum Quadrat, plus b/2a mal x, noch einmal plus b/2a mal x, und dann b/2a mal b/2a, ergibt (b/2a) zum Quadrat. und dann b/2a mal b/2a, ergibt (b/2a) zum Quadrat. Die beiden b/2a mal x in der Mitte ergeben 2b/2a mal x , und gekürzt b/a mal x. Die beiden b/2a mal x in der Mitte ergeben 2b/2a mal x , und gekürzt b/a mal x. Die beiden b/2a mal x in der Mitte ergeben 2b/2a mal x , und gekürzt b/a mal x. Das ist genau der Term von vorher: x² + b/a mal x + b/2a zum Quadrat. Das ist genau der Term von vorher: x² + b/a mal x + b/2a zum Quadrat. Das ist genau der Term von vorher: x² + b/a mal x + b/2a zum Quadrat. Wir haben diesen Term auf beiden Seiten addiert, damit links eine Quadratzahl steht. Wir haben diesen Term auf beiden Seiten addiert, damit links eine Quadratzahl steht. Damit haben wir die linke Seite vereinfacht. Rechts sieht es komplizierter aus! Rechts sieht es komplizierter aus! Rechts sieht es komplizierter aus! Vereinfachen wir ein bisschen: Zuerst den quadrierten Term. Vereinfachen wir ein bisschen: Zuerst den quadrierten Term. Vereinfachen wir ein bisschen: Zuerst den quadrierten Term. Vereinfachen wir ein bisschen: Zuerst den quadrierten Term. Vereinfachen wir ein bisschen: Zuerst den quadrierten Term. Für den anderen Term wollen wir auch 4a² im Nenner haben. Für den anderen Term wollen wir auch 4a² im Nenner haben. Für den anderen Term wollen wir auch 4a² im Nenner haben. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner mit 4a. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner mit 4a. Du könntest das wieder kürzen und nachprüfen. Du könntest das wieder kürzen und nachprüfen. Du könntest das wieder kürzen und nachprüfen. Du könntest das wieder kürzen und nachprüfen. Die 4 würde sich wegkürzen und ein a ebenfalls. Die 4 würde sich wegkürzen und ein a ebenfalls. Und dann hast du c/a. Jetzt erkennst du vielleicht schon die Quadratformel! Jetzt erkennst du vielleicht schon die Quadratformel! Die rechte Seite kann ich umschreiben: Die rechte Seite kann ich umschreiben: Wir sind fast da! b²-4ac, es taucht schon auf! Ziehen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten. Ziehen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten. Ziehen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten. Links bleibt x plus b/2a. Links bleibt x plus b/2a. Links bleibt x plus b/2a. ist gleich plus oder minus der Quadratwurzel von rechts, ist gleich plus oder minus der Quadratwurzel von rechts, also der Quadratwurzel von Zähler und Nenner: plus oder minus Quadratwurzel aus (b^2 minus 4ac) plus oder minus Quadratwurzel aus (b^2 minus 4ac) dividiert durch die Quadratwurzel aus 4a^2. Das ist 2a, nicht wahr? (2a)^2 ist 4a^2. Das ist 2a, nicht wahr? (2a)^2 ist 4a^2. Ich nahm von beiden Seiten die Quadratwurzel. Ich nahm von beiden Seiten die Quadratwurzel. Das ist schon sehr ähnlich der Quadratformel. Jetzt müssen wir noch dieses b/2a subtrahieren. Jetzt müssen wir noch dieses b/2a subtrahieren. Jetzt müssen wir noch dieses b/2a subtrahieren. Wenn wir b/2a von beiden Seiten subtrahieren, was bleibt dann? Wenn wir b/2a von beiden Seiten subtrahieren, was bleibt dann? Wenn wir b/2a von beiden Seiten subtrahieren, was bleibt dann? Es bleibt: Gleicher Nenner. Das ist gleich: Und wir sind fertig! Wir mussten einfach die Koeffizienten so wählen, dass das Quadrat eines Binoms herauskam. Wir mussten einfach die Koeffizienten so wählen, dass das Quadrat eines Binoms herauskam. Damit bekamen wir automatisch die Quadratformel. Einfach so. Hoffentlich hat es dir Spass gemacht!