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Die quadratische Formel verstehen

Erfahre mehr über die Quadratformel und wie sie bei quadratischen Gleichungen genutzt wird.

Die abc-Formel hilft dir, quadratische Gleichungen zu lösen, und ist wahrscheinlich eine der fünf meistbenutzten Formeln in der Mathematik. Wir sind keine großen Fans davon, dich Formeln auswendig lernen zu lassen, aber diese ist nützlich (und wir denken, du solltest lernen, wie sie hergeleitet und auch verwendet wird, aber das folgt im zweiten Video!).
Wenn du so eine allgemeine quadratische Gleichung hast:

a x^{2} + b x + c = 0

Dann hilft die Formel dir, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, d.h. die Werte von

x

zu finden, mit denen diese Gleichung erfüllt ist.

Die quadratische Lösungsformel

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Es kann ein wenig beängstigend aussehen, aber du wirst dich schnell daran gewöhnen!
Übe jetzt mit Hilfe der Formel.

Anwendungsbeispiel

Zuerst müssen wir die Werte für a, b und c (die Koeffizienten) herausfinden. Als erstes stellst du sicher, dass die Gleichung in der Form von oben steht:

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ ist der Koeffizient vor $x^{2}$ ‍, also hier ist $a = 1$ ‍ (Beachte, dass $a$ ‍ nicht gleich $0$ ‍ sein kann -- das $x^{2}$ ‍ macht die Gleichung quadratisch)
$b$ ‍ ist der Koeffizient vor $x$ ‍, also hier ist $b = 4$ ‍
$c$ ‍ ist die Konstante, oder der Term ohne $x$ ‍ daneben, also hier ist $c = - 21$ ‍.

Dann fügen wir

a

b

und

c

in die Formel ein:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

Die Lösung sieht dann so aus:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Daher ist

x = 3

oder

x = - 7

Was sagt uns die Lösung?

Die beiden Lösungen sind die Schnittpunkte der Gleichung mit der x-Achse, d.h. wo die Kurve die x-Achse schneidet. Die Gleichung

x^{2} + 3 x - 4 = 0

sieht so aus:

Wobei die Lösungen der quadratischen Lösungsformel und die Achsenabschnitte

x = - 4

und

x = 1

sind.

Nun kannst du auch eine quadratische Gleichung durch Faktorieren, durch vervollständigen des Quadrates oder durch grafische Darstellung lösen, warum brauchen wir also die Formel?

Weil manchmal quadratische Gleichungen viel schwieriger zu lösen sind als das erste Beispiel.

Zweites Anwendungsbeispiel

Versuchen wir dieses bei einer Gleichung, die schwieriger zu faktorisieren ist:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Bringen wir sie zuerst in eine Form, bei der alle Terme auf der linken Seite sind:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Die Formel ergibt:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Wir wissen, dass du die Quadratwurzel nicht aus einer negativen Zahl ziehen kannst, ohne mit imaginären Zahlen zu arbeiten, so sagt uns das, dass es keine wirklichen Lösungen für diese Gleichung gibt. Das bedeutet, dass zu keinem Zeitpunkt

y = 0

ist. Die Funktion wird also nie die x-Achse erreichen. Wir sehen das auch, wenn es auf einem Rechner grafisch dargestellt wird:

Jetzt hast du die Grundlagen für die quadratische Formel!
Es gibt noch viele Beispiele in den folgenden Videos.

Tipps zur Verwendung der quadratischen Lösungsformel

Achte darauf, dass die Gleichung in der richtigen Form angeordnet ist: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ sonst wird es nicht funktionieren!
Stelle sicher, dass du die Quadratwurzel des Ganzen $(b^{2} - 4 a c)$ ‍ nimmst, und dass $2 a$ ‍ der Nenner von allem darüber ist
Achte auf die negativen Zahlen: $b^{2}$ ‍ kann nicht negativ sein, falls $b$ ‍ negativ anfängt, stelle sicher, dass es zu einer positiven Zahl wird, denn das Quadrat einer negativen oder einer positiven Zahl ist immer positiv
Behalte $+ / -$ ‍ bei und suche immer nach ZWEI Lösungen
Wenn du einen Taschenrechner verwendest, kann die Antwort auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen gerundet werden. Wenn nach der genauen Antwort gefragt wird (wie es meistens der Fall ist) und die Quadratwurzeln nicht leicht vereinfacht werden können, behalte die Quadratwurzeln in deiner Antwort, z. B. $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ and $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Nächster Schritt:

Übe mit Hilfe der quadratischen Formel.
Betrachte Sal, wie er ein Beispiel vorführt:

Khan Academy Video-Wrapper

Using the quadratic formulaVideo-Transkript ansehen

Beweise die quadratische Lösungsformel:

Khan Academy Video-Wrapper

Proof of the quadratic formulaVideo-Transkript ansehen

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