Beweis: Strecken, die den Kreis von außen tangieren, sind kongruent

Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt O. Wir wählen einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises. Punkt A. Von jedem beliebigen Punkt außerhalb des Kreises lassen sich zwei Tangenten zeichnen, die durch Punkt A laufen und den Kreis berühren. Ich zeichne sie ein. Eine Tangente würde so aussehen. Ich zeichne eine Linie, die den Kreis berührt. Und eine weitere Linie hier. Die Punkte, an denen die Tangenten den Kreis berühren, nennen wir Punkt B und Punkt C. Was ich beweisen will, ist, dass die Strecke AB genau so lang ist wie die Strecke AC. Ich will beweisen, dass diese Strecke hier mit dieser Strecke hier übereinstimmt Ich schlage vor, du pausierts das Video, und versuchst, es selbst herauszufinden, bevor ich den Lösungsweg vorführe. In Ordnung, nun lass uns zusammen versuchen, eine Lösung zu finden. Und um das zu tun, werde ich zwei Dreiecke einzeichnen. Und zwar rechtwinklige Dreiecke, Ich zeichne die Linien der Dreiecke ein. Also, was wissen wir über diese Dreiecke? Wie gesagt, wir haben hier rechtwinklige Dreiecke. Woher ich das weiß? Im vorigen Videos haben wir gesehen, dass ein Radius eine Tangente im einem rechten Winkel schneidet. dass ein Radius eine Tangente im einem rechten Winkel schneidet. Wir haben das bereits bewiesen. Dies hier ist der Radius. Und das hier ist eine Tangente. Sie schneiden sich in einem rechten Winkel. Radius und Tangente schneiden sich in einem rechten Winkel. Außerdem wissen wir, dass OB und OC Radii sind, sie haben also beide die Länge des Radius. Also ist diese Strecke OB genau so groß wie die andere Strecke OC. Und man sieht, dass die Hypotenuse der beiden Dreiecke die selbe Strecke, OA, ist. Diese Strecke ist bei beiden Dreiecken immer gleich. Wir haben zwei Dreiecke: ABO und ACO. Beides sind rechtwinklige Dreiecke, und sie haben eine Seite gemeinsam. Vor allem haben sie eine gemeinsame Hypotenuse, und sie haben beide einen Schenkel. Und wir wissen von der Hypotenusen-Schenkel-Kongruenz, dass bei zwei Dreiecken mit gleicher Hypotenuse und einem gleichen Schenkel auch die beiden Dreiecke gleich sind. Also sind die Dreiecke ABO und ACO kongruent. Der Satz des Pythagoras sagt, dass, wenn zwei Seiten eines Dreiecks bekannt sind, sich die dritte Seite berechnen lässt. Die dritte Seite, also die Strecke AB, ist genau so lang wie die Strecke AC. Das liegt daran, dass es rechtwinklige Dreiecke sind, und wenn zwei Seiten dieser Dreiecke gleich sind, muss auch die dritte Seite gleich sein. Das besagt der Satz des Pythagoras. Und das ist der Beweis: AB ist kongruent zu AC. Ein anderer Weg, um sich das ganze vorzustellen: Wenn ich einen Punkt außerhalb eines Kreises nehme, und ich Segmente anlege, die tangential zum Kreis sind, werden diese Segmente kongruent zueinander sein.