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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 11

Lektion 10: Eigenschaften von Tangenten

Herausfordernde Aufgaben: Radius & Tangente

Löse zwei herausfordernde Aufgaben, die die Eigenschaften von Tangenten anwenden, um den Radius eines Kreises mit einer Tangente zu bestimmen.

Aufgabe 1

\overset{\leftrightarrow}{A C}

tangiert den Kreis

O

bei Punkt

C

Was ist die Länge von $\overset{―}{O C}$ ‍?

\overset{\leftrightarrow}{A C}

am Punkt

C

tangential zum Kreis ist, verläuft der Radius zum Punkt

C

senkrecht zur Tangentenlinie. Dies bedeutet, dass das Maß von

∠ A C O

gleich

90^{\circ}

ist.

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um nach der Länge von

\overset{―}{O C}

aufzulösen.

Wir müssen die Länge von

\overset{―}{O A}

kennen.

Wir wissen das

A B = 2

B O = O C

, weil es ein Radius des Kreises ist.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 2 + O C$ ‍

Jetzt, da wir einen Ausdruck für die Länge von

A O

haben, können wir nach

O C

auflösen.

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 4^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 2)^{2} \\ 16 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 4 O C + 4 \\ 12 & = 4 O C \\ 3 & = O C \end{aligned}$ ‍

Die Länge von $\overset{―}{O C}$ ‍ sind $3$ ‍ Einheiten.

Aufgabe 2

\overset{\leftrightarrow}{A C}

tangiert den Kreis

O

bei Punkt

C

Was ist die Länge von $\overset{―}{O C}$ ‍?

\overset{\leftrightarrow}{A C}

am Punkt

C

tangential zum Kreis ist, verläuft der Radius zum Punkt

C

senkrecht zur Tangentenlinie. Dies bedeutet, dass das Maß von

∠ A C O

gleich

90^{\circ}

ist.

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um nach der Länge von

\overset{―}{O C}

aufzulösen.

Wir müssen die Länge von

\overset{―}{O A}

kennen.

Wir wissen, dass

A B = 18

ist.

B O = O C

, weil es ein Radius des Kreises ist.

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 18 + O C$ ‍

Jetzt, da wir einen Ausdruck für die Länge von

A O

haben, können wir nach

O C

auflösen.

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 30^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 18)^{2} \\ 900 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 36 O C + 324 \\ 576 & = 36 O C \\ 16 & = O C \end{aligned}$ ‍

Die Länge von $\overset{―}{O C}$ ‍ sind $16$ ‍ Einheiten.

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