Punkte im Kontext von Graphen von Systemen interpretieren

Lauren benutzt in ihrem Café eine Mischung aus hell- und dunkelgerösteten Bohnen. Für ihre nächste Bestellung braucht sie insgesamt 80 kg Bohnen. Dunkelgeröstete Bohnen kosten $3 pro kg, hellgeröstete Bohnen kosten $2 pro kg, und sie will insgesamt $220 ausgeben. Der Graph zeigt ein Gleichungssystem für dieses Szenario, bei dem x für die Anzahl dunkelgerösteter Bohnen in kg steht, die sie kauft, und y für die Anzahl hellgerösteter Bohnen in kg steht, die sie kauft. Schauen wir uns also den Graphen an. Bei dieser blauen Gerade steht das x für die Anzahl dunkelgerösteter Bohnen in kg, y steht für die Anzahl hellgerösteter Bohnen in kg, und sie will insgesamt eine Menge von 80 kg kaufen. Das sind die Informationen aus dem Text. Sie braucht 80 kg Bohnen. Ich unterstreiche es in blau. Diese Einschränkung, dass die Summe der kg heller und dunkler Bohnen 80 ergibt, wird durch diese Gleichung dargestellt. Und grafisch dargestellt ergibt es diese blaue Gerade hier. Die andere Einschränkung haben wir bei 3x, dass dunkelgeröstete Bohnen $3 pro kg kosten, 3x ist das, was sie für dunkle Bohnen bezahlt. 2y ist das, was sie für helle Bohnen bezahlt, da sie $2 pro kg kosten. Und 220 ist der Gesamtbetrag, den sie ausgibt. Und das wissen wir von hier oben. Dunkelgeröstete Bohnen kosten $3 pro kg, hellgeröstete Bohnen kosten $2 pro kg, und sie will $220 ausgeben. Diese Gleichung ist also eine andere Art, die Infos, die ich grün unterstrichen habe, auszudrücken. Die grüne Gerade zeigt alle Kombinationen von x und y, zu denen diese Einschränkungen passen würden. Jetzt machen wir etwas Interessantes. Hier sind einige Punkte beschriftet: Punkt C, D, F und E. Wir überlegen uns jetzt, wofür jeder dieser Punkte steht. Der Punkt C liegt auf der grünen Gerade, aber über der blauen Gerade, was sagt uns das also? Wofür steht Punkt C? Pausiere das Video und denk darüber nach. Wenn wir auf der grünen Gerade sind, bedeutet das, dass die Menge, die sie für dunkle Bohnen ausgibt, addiert mit der Menge, die sie für helle Bohnen ausgibt, exakt $220 ergibt. Sie gibt bei C also definitiv $220 aus. Aber wie viel kg verwendet sie insgesamt? Die Tatsache, dass wir für diesen x-Wert über der Gerade liegen, bedeutet, dass sie nicht exakt 80 kg verwendet. Das sehen wir hier drüben. Sie verwendet ca. 10 kg dunkle, und ca. 95 kg helle Bohnen. Wenn du beide Punkte addierst, verwendet sie ungefähr 105 kg. Punkt C ist also ein Fall, in dem sie exakt $220 ausgibt, aber mehr als 80 kg benutzt, da die zweite Einschränkung nicht berücksichtigt wird. Der Punkt ist über dieser Gerade. Wofür steht Punkt D? Pausiere das Video und finde es heraus. Da er auf der blauen Gerade liegt, bedeutet es, dass die Einschränkung berücksichtigt wird, dass die Gesamtanzahl in kg von dunklen und hellen Bohnen zusammen 80 kg ergibt. Hier verwendet sie also exakt 80 kg, aber wie viel Geld gibt sie aus? Da dieser Punkt unter der grünen Gerade liegt, wissen wir, dass sie weniger als $220 ausgibt. Wir können es sogar ausprobieren. Was ergibt 3 ⋅ 20 + 2 ⋅ 60? 60 + 120 = $180. Das ist also ein Punkt, an dem diese Einschränkung berücksichtigt wird, diese aber nicht. Wir geben hier zu wenig aus. Was ist mit Punkt F? Punkt F liegt unter beiden Geraden. Pausiere das Video und überlege, was das bedeutet. Wenn der Punkt unter beiden Geraden liegt, bedeutet das, dass wir weder $220 ausgeben, noch 80 kg verwenden. Das siehst du an den Zahlen. Du musst sie dir nicht anschauen, aber es gibt dir ein gutes Gefühl. Sie benutzt ca. 30 kg dunkle Bohnen, und 30 kg helle Bohnen. Sie verwendet in dieser Situation also insgesamt 60 kg und nicht 80 kg. Deshalb liegt er nicht auf der blauen Gerade. Jetzt schauen wir uns ihre Ausgaben an. Sie kauft 30 kg jeder Sorte, also rechnen wir 3 ⋅ 30 + 2 ⋅ 30. Es ergibt 90 + 60. Das ist auch weniger als $220. Deshalb liegt dieser Punkt unter beiden Geraden. Und wofür steht Punkt E? E liegt auf beiden Geraden, was bedeutet, dass er beide Einschränkungen berücksichtigt. Das ist eine Situation, in der sie exakt $220 ausgibt, und die Gesamtzahl in kg, die sie von hellen und dunklen Bohnen verwendet, ist exakt 80. Wenn wir uns also fragen, welche Kombination von hellen und dunklen Bohnen sie braucht, um beide Einschränkungen zu berücksichtigen, dann steht E genau für diesen Schnittpunkt beider Geraden.