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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 9

Lektion 2: Das Cavalieri-Prinzip und die Zerlegungsmethoden
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Räumliche Geometrie
Das Cavalieri-Prinzip und die Zerlegungsmethoden
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Das Cavalieri-Prinzip in 3D

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Wenn zwei 3D-Figuren die gleiche Höhe und den gleichen Flächeninhalt an jedem Punkt entlang dieser Höhe haben, haben sie das gleiche Volumen.

Das Cavalieri-Prinzip in 3D

Schlüsselidee: Wenn zwei 3D-Figuren die gleiche Höhe und der gleichen Querschnittsfläche an jedem Punkt entlang dieser Höhe haben, haben sie das gleiche Volumen.

Warum es funktioniert

Stell dir vor, wir haben einen Stapel Münzen (oder Bücher, Spielkarten oder irgendetwas mit parallelen Ebenen). Wenn wir auf die Oberseite des Stapels drücken, so dass er zur Seite hin steil wird, haben wir dann das Volumen verändert? Nein, natürlich nicht!
2 Stapel mit identischen Pokerchips. Beide Stapel haben die gleiche Anzahl an Chips. Ein Stapel ähnelt einem rechtwinkligen Zylinder. Bei dem anderen Stapel sind die Chips nicht in der Mitte des Stapels angeordnet, sondern unter ihm.
Von HB (Eigenes Werk) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons
Wir können einen Körper in viele parallele Schichten zerlegen und diese dann von einer Seite zur anderen schieben, ohne dass sich das Volumen ändert.
Zwei rechtwinklige Zylinder. Der erste Zylinder beginnt genauso wie der zweite Zylinder. Dann wird er in immer mehr Schichten zerlegt. Die Schichten gleiten nach links und rechts. Wenn die Schichten sehr dünn sind, ähnelt der erste Zylinder einem schrägen Zylinder.
Probiere die Simulation des Cavalieri-Prinzips für Zylinder selbst aus. Ziehe die Schieberegler, um die Anzahl der Schichten zu ändern und zu bestimmen, wie weit der Zylinder auf der linken Seite schief ist. Versuche, die Anzahl der Schichten zu erhöhen, bis der Zylinder glatt aussieht.

Ungewöhnlichere Formen erforschen

Wir können das Cavalieri-Prinzip nicht nur bei Prismen und Zylindern anwenden. Wir können zum Beispiel auch die Schichten eines Kegels von einer Seite zur anderen schieben, ohne das Volumen zu verändern.
Die Animation zeigt horizontale Querschnitte eines rechtwinkligen Kegels und eine zweite Figur mit kongruenten Querschnitten zum Kegel, bei der die Querschnitte jedoch wellenförmig und unregelmäßig zur Seite gleiten.
Probiere die Cavalieris Skulpturensimulation selbst aus. Ziehe deine Maus über den Kegel auf der rechten Seite, um ihn zu formen. Beachte, dass die Flächeninhalte der beiden Figuren in jeder Höhe gleich bleiben, egal wie du sie formst.
Beide Figuren haben eine Höhe von 21 und eine Grundfläche von 64π.
Aufgabe 1
Wie groß ist das Volumen des Kegels auf der linken Seite?
  • Deine Lösung sollte sein
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Volumeneinheiten
Wie groß ist das Volumen des geformten Kegels auf der rechten Seite?
  • Deine Lösung sollte sein
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Volumeneinheiten

Das Cavalieri-Prinzip mit verschiedenen Formen

Eine der nützlichsten Eigenschaften des Cavalieri-Prinzips ist, dass es auch dann funktioniert, wenn die Querschnitte unterschiedliche Formen haben, solange sie immer noch den gleichen Flächeninhalt haben.
Aufgabe 2.1
Die folgenden Figuren haben alle die gleiche Höhe und die gleiche Grundfläche.
Welche der folgenden Figuren haben das gleiche Volumen?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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