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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 9
Lesson 2: Das Cavalieri-Prinzip und die ZerlegungsmethodenDas Cavalieri-Prinzip in 3D
Wenn zwei 3D-Figuren die gleiche Höhe und den gleichen Flächeninhalt an jedem Punkt entlang dieser Höhe haben, haben sie das gleiche Volumen.
Das Cavalieri-Prinzip in 3D
Schlüsselidee: Wenn zwei 3D-Figuren die gleiche start color #7854ab, start text, H, o, with, \", on top, h, e, end text, end color #7854ab und der gleichen start color #208170, start text, Q, u, e, r, s, c, h, n, i, t, t, s, f, l, a, with, \", on top, c, h, e, end text, end color #208170 an jedem Punkt entlang dieser Höhe haben, haben sie das gleiche start color #ca337c, start text, V, o, l, u, m, e, n, end text, end color #ca337c.
Warum es funktioniert
Stell dir vor, wir haben einen Stapel Münzen (oder Bücher, Spielkarten oder irgendetwas mit parallelen Ebenen). Wenn wir auf die Oberseite des Stapels drücken, so dass er zur Seite hin steil wird, haben wir dann das Volumen verändert? Nein, natürlich nicht!
Wir können einen Körper in viele parallele Schichten zerlegen und diese dann von einer Seite zur anderen schieben, ohne dass sich das Volumen ändert.
Probiere die Simulation des Cavalieri-Prinzips für Zylinder selbst aus. Ziehe die Schieberegler, um die Anzahl der Schichten zu ändern und zu bestimmen, wie weit der Zylinder auf der linken Seite schief ist. Versuche, die Anzahl der Schichten zu erhöhen, bis der Zylinder glatt aussieht.
Ungewöhnlichere Formen erforschen
Wir können das Cavalieri-Prinzip nicht nur bei Prismen und Zylindern anwenden. Wir können zum Beispiel auch die Schichten eines Kegels von einer Seite zur anderen schieben, ohne das Volumen zu verändern.
Probiere die Cavalieris Skulpturensimulation selbst aus. Ziehe deine Maus über den Kegel auf der rechten Seite, um ihn zu formen. Beachte, dass die Flächeninhalte der beiden Figuren in jeder Höhe gleich bleiben, egal wie du sie formst.
Beide Figuren haben eine start color #7854ab, start text, H, o, with, \", on top, h, e, end text, end color #7854ab von start color #7854ab, 21, end color #7854ab und eine start color #208170, start text, G, r, u, n, d, f, l, a, with, \", on top, c, h, e, end text, end color #208170 von start color #208170, 64, pi, end color #208170.
Das Cavalieri-Prinzip mit verschiedenen Formen
Eine der nützlichsten Eigenschaften des Cavalieri-Prinzips ist, dass es auch dann funktioniert, wenn die Querschnitte unterschiedliche Formen haben, solange sie immer noch den gleichen Flächeninhalt haben.
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