2011 Calculus BC freie Antwort #6a

Problem Nummer sechs Sei f von x gleich dem Sinus von x-quadrat plus Cosinus von x. Der Graph von y gleich dem Absolutbetrag der fünften Ableitung von f an der Stelle x ist oben gezeigt und ich habe ihn noch nicht gezeigt, damit wir hier ein bisschen Platz haben. Ich werde ihn zeigen, wenn wir ihn brauchen. Ich glaube wir müssen ihn in Teil D zeichnen. Also lasst mich zu erst Teil A hier drüben machen. Schreibe die ersten vier nichtnull Ausdrücke der Taylorreihe von Sinus von x um den Entwicklungspunkt x=0, und schreibe die ersten vier nichtnull Ausdrücke der Taylorreihe für Sinus von x-quadrat um x gleich Null. Lasst uns zu erst den ersten Teil machen. Und nur eine Erinnerung, eine Taylorreihe ist eine polynomielle Approximation einer Funktion. Als kurze Erinnerung -- wir werden das in den Videos über Taylorreihen mehr vertiefen. Aber hat man eine Funktion die so aussieht und man will diese mit einer Taylorreihe um Null approximieren, man könnte, wenn man nur einen Term der Taylorreihe hat, würde man wirklich nur, dann wäre es nur diese nur eine Konstante, so etwa. Hat man zwei Terme der Taylorreihe wäre diese eine Gerade, die so aussieht. Hat man einen drei Terme der Taylorreihe, erhielte man einen Term zweiter Ordnung. Man würde also irgendwie so anfangen zu approximieren. Wenn man den Term dritten Ordnung berücksichtigt, könnte es ungefähr so aussehen. Und je mehr Terme man berücksichtigt, desto besser wird die Approximation der Funktion und nimmt man unendlich viele Terme, so könnte die Reihe tatsächlich gegen die Funktion konvergieren. Also lasst uns erinneren. Wenn Ich eine Funktion, wenn ich f von x habe die Taylorreihe von f: Ich kann sie mit der Taylorreihe approximieren. Und wenn wir den Entwicklungspunkt bei Null haben möchten, wird die Reihe gleich f von Null plus f-Strich von Null (die Ableitung an der Stelle Null) mal x plus die zweite Ableitung an der Stelle Null mal x-quadrat geteilt durch Zwei Fakultät. (Man hätte diesen Term hier durch 1 Fakultät teilen können, was gerade 1 ist) 2 Fakultät ist genau 2. Und dann plus die dritte Ableitung von f an der Stelle Null mal x hoch 3 geteilt durch 3 Fakultät plus die vierte Ableitung... Ich denke man versteht die Idee hier. Die vierte Ableitung an der Stelle Null mal x hoch vier geteilt durch 4 Fakultät und so weiter und so fort. Was die Aufgabe nun von uns will ist, die vier ersten Nichtnull Terme der Taylorreihe von Sinus von x zu finden. Und manche von euch wissen das vielleicht schon. Wir haben das in dem Video, in dem wir die Euler Identität gezeigt haben, gemacht, aber wir werden es hier nochmal machen. Wenn wir also, Ich werde das g von x nennen, weil ich f von x v hier oben schon definert habe. Sei also g von x und lasst uns eine neue Farbe hierfür nehmen, um die Monotonie ein wenig zu senken. Sei also g von x gleich Sinus von x. Dann wissen wir, dass g von 0 gleich 0 ist. Und wenn wir die Ableitung betrachten, g-Strich von x wird Minus sein, nein es wird plus Cosinus von x sein. Plus Cosinus von x. g-Strich von Null ist nun also gleich Eins. Cosinus von Null ist Eins. Dann wenn man die zweite Ableitung nimmt. Die Ableitung von Cosinus von x ist Minus Sinus von x. Und die zweite Ableitung an der Stelle Null, ist wieder gleich Null. Sinus von Null ist Null. Und jetzt lasst uns die dritte Ableitung nehmen. Die dritte Ableitung unserer Funktion, g, die Ableitung von Minus Sinus von x ist Minus Cosinus von x. Und die dritte Ableitung an der Stelle Null wird gleich Minus Eins sein. Und wir machen weiter. Man kann schon raten, wo dies hinführen könnte. Aber ich werde einfach weitermachen, sicherheitshalber. Die vierte Ableitung ist wieder gleich Sinus von x wird jetzt also Sinus von x sein. Und die vierte Ableitung an der Stelle Null, weil es das gleich ist wie die Funktion selber wird wiederum Null sein. Dies wird also gleich die vierte Ableitung von g an der Stelle Null sein. Und dann können wir weitermachen. Dies wird dasselbe sein wie die fünfte Ableitung von g, wir fangen an uns zu wiederholen, wenn wir mehr und mehr Ableitungen betrachten. Dies wird also dasselbe sein wie die fünfte Ableitung an der Stelle Null. Dies wird dasselbe sein wie die sechste Ableitung an der Stelle Null. Und dies wird dasselbe sein -- das ist ein Gleichhaltszeichen hier gleich Eins. Und dies wird dasselbe sein wie die siebte Ableitung an der Stelle Null. Wir wollen also die vier ersten Nichtnull Terme haben. Lasst uns das einfach durchgehen. Also zu erst ist f von Null -- ich werd dies in einer neuen Farbe machen wenn wir g von x approximieren wollen, wenn wir Sinus von x approximieren wollen, können wir sagen, dass Sinus von x ist ungefähr gleich der erste Ausdruck hier ist Sinus von 0, das ist g von Null. Das ist also Null, wir müssen das also nicht mal aufschreiben. Dann gehen wir zum nächsten Term. Die erste Ableitung f-Strich von Null, oder in diesem Fall g-Strich von Null ist gleich Eins. Es ist also einmal x. Man hat also ein x hier. Und der nächste Term ist gleich Null, wir sehen das hier drüben, weil die zweite Ableitung unserer Funktion ausgewertet an der Stelle Null gleich Null ist. Unsere dritte Ableitung unserer Funktion ausgewertet an der Stelle Null ist Eins. Diese Term wird hier also auftauchen. Und dieser Term ist eigentlich Minus Eins -- ich will keinen Fehler machen das ist Minus Eins. Es war Minus Cosinus von x und wenn man Minus Cosinus von x an der Stelle x auswertet, erhält man Minus Eins hier. Die dritte Ableitung, der Ausdruck hier, ist also Minus Eins. Wir erhalten also Minus x hoch Drei geteilt durch Drei Fakultät. Die vierte Ableitung ist wieder Null. Die fünfte Ableitung an der Stelle Null ausgewertet ist Eins. Dann hat man also plus Eins mal x hoch Fünf geteilt durch Fünf Fakultät. Die sechste Ableitung ist Null, diese Term verschwindet also. Ich schreibe ihn nicht mal auf. Und der siebte Term, der Koeffizient ist Minus Eins. Oder, die siebte Ableitung ausgewertet an der Stelle Null ist Minus Eins. Man hat also Minus Eins mal x hoch Sieben geteilt durch Sieben Fakultät. Und wir mussten bis zum Term von Grad Sieben gehen, um die ersten vier Nichtnull Terme der Taylorreihe zu finden. Und jetzt sind wir fertig mit dem ersten Teil. Wir haben die ersten vier Nichtnull Terme von Sinus von x gefunden. Wie sieht es jetzt mit Sinus quadrat von x aus oder Sinus von x-quadrat. Hier müssen wir vorsichtigt sein. Denn man könnte sagen, okay, wir wenden einfach diese Formel an und man wird schnell feststellen, dass wenn man die zweite und dritte Ableitunng nimmt, von diesem Ausdruck hier drüben, dann wird es ziemlich unschön werden. Aber was man sagen kann, ist, dass Sinus von ist ungefähr dieser Ausdruck hier. Was passiert, whenn wir x mit x-quadrat ersetzen? Dann erhalte ich x-quadrat ist ungefähr gleich an Stelle von x hier, setze ich x-quadrat ein an Stelle von x hoch Drei setze ich x-quadrat hoch Drei ein, geteilt durch Drei Fakultät. An Stelle von x hoch Fünf kann ich hier x-quadrat hoch Fünf geteilt durch Fünf Fakultät einsetzen. Und an Stelle von x hoch Sieben, kann ich x-quadrat hoch Sieben geteilt durch Sieben Fakultät einsetzen. Es ist sehr wichtig dies zu verstehen Da, wenn man direkt angefangen hätte die Taylorreihe um den Punkt Null von diesem Ding hier zunehmen, hätte man viel Zeit da mit verbracht diese Ableitungn auszurechnen und wäre wahrscheinlich sowieso nicht in der Lage gewesen diese zu berechnen, weil sie sehr unschön sind. Und der Schlüßel hier ist, zu verstehen, dass man , wenn man einfach x durch x-quadrat ersetzt, man die Approximation für Sinus von x-quadrat bekommt. Und wir können dies ein bisschen vereinfachen. Dies wird ungefähr gleich x-quadrat minus x hoch Sechs geteilt durch Drei Fakultät plus x hoch Zehn geteilt durch Fünf Fakultät minus x hoch Vierzehn geteilt durch Sieben Fakultät. Dies war der zweite Teil des Problems.