2011 Calculus BC freie Antwort #1d

Teil D: Ermittle die gesamte zurückgelegte Distanz mihilfe des Zeitintervalls zwischen (Zeit) t=0 und t=0 oder anders 0 kleiner gleich t kleiner gleich 3 Um sicher zu gehen, zeichen wir ein Koordinatensystem. Natürlich musst das nicht machen, wenn du unter Zeitdruck stehst, ich will sichergehen, dass wir alle verstehen, was gemacht wird. Also wenn t=0, wo sind wir? Nun, die Angabe sagt uns: x(0) ist 0, also ist x auf 0 und y(0) is -4, also sind wir auf diesem Punkt (0, -4). Das ist wenn t=0 und wir haben im vorherigen Teil schon herausgefunden, was passiert, wenn t=3. Wir fanden heraus, dass x bei 21 einliegt. Ich würde mal sagen, 21 liegt so ungefähr hier. x(3) ist 21 und y(3) war -3 komma irgendwas. Das bringt uns genau hierher. Also das ist 21 und das haben wir vorher schon gelöst, ich glaube es war -3.226, und so schaut das aus, wenn t=3. Und zwischen diesen Punkten verläuft irgendwie die Kurve. Wir könnten das auch auswerten, aber es wird wohl so ungefähr ausschauen. Wir machen einfach mit dem weiter. Also jetzt ist die Frage von Teil d, was die insgesamt gefahrene Distanz ist. oder anders formuliert: Was ist die Länge der Kurve? Das können wir berechnen, es gibt eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge. Wenn du sie weißt, kannst du sie gleich anwenden. Es wäre nicht schlecht, diese Formel zu können, vor allem wenn man bei einer Prüfung unter Zeitdruck steht. Aber ich vergesse sie immer, ich bin fast 35. Deswegen erarbeite ich sie immer selbst und das macht mich auch ein bisschen zufrieden, denn es erinnert uns daran, warum die Formel funktioniert. Also wir ermitteln wir die ein Stück der Länge dieses Bogens? Machen wir diesen teil, ich mag diesen Teil mehr. Also sagen wir, wie berechnin wir ein kleines Stück der Bogenlänge genau hier? Sagen wir, wir haben ein kleines Stück des Bogens, ich zoome dorthin. Du hast eine kleine Veränderung in x entlang des Bogenstücks, dass ich vergrößert habe. Nenn das mal dx und du hast auch eine kleine Veränderung in y, also dy, und wir wissen aufgrund der Theorie von Pythagoras: wenn wir klein genug werden, können wir eine Hypotenuse finden denn hier ist die Katheten und hier ist die Hypotenuse. Und wenn man klein genug wird, wird diese Linie immer gerader und man erkennt die Hypotenuse genau hier. Wir wissen was das ist, aus der Theorie von Pythagoras. Das wird nun die Quadratwurzel aus dx zum Quadrat plus dy zum Quadrat genau nach Pythagoras. Wir schreiben wir das nun als Funktionen von t an? Wir wissen bereits, dass dx/dt das gleiche wie x'(t) ist oder wenn wir die Differnziale als Zahlen sehen, und das kann man meistens, wir wissen das dx gleich x'(t) ist und wir wissen dass dy von t oder dy/dt,