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Polynomidentitäten analysieren

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich mit dir üben, die Polynom-Manipulationen von anderen Leuten kritisch zu betrachten. Es ist nützlich, das selber zu können, damit du beim Manipulieren von Polynomen auch tatsächlich weißt, was du gerade tust. Wenn du ein Buch über Mathe oder Naturwissenschaften liest, enthält es oft einen Beweis oder Ähnliches, und es steht dabei, dass etwas von diesem zum nächsten Schritt offensichtlich ist, und du versuchst, das nachzuvollziehen, und fragst dich, ob das Sinn ergibt. Es ist also sehr nützlich, das zu üben, und zu schauen, ob diese Schritte für dich Sinn ergeben. Es ist auch sehr nützlich, in der Lage zu sein, mögliche Fehler zu finden und sie zu korrigieren. Du bekommst dadurch ein kritischeres Auge für diese Dinge Fangen wir hiermit an. Wir haben (4x - 3) (x - 2)². Und es sieht so aus, als würde die Person versuchen, diesen Ausdruck in 5 Schritten zu entwickeln. Ich ermutige dich, das Video jetzt zu pausieren, und zu überprüfen, ob es korrekt gemacht wurde. Und wenn es nicht korrekt gemacht wurde, versuche herauszufinden, bei welchem Schritt der Fehler ist. Ich nehme mal an, du hast es probiert. Wir machen es jetzt zusammen. Was wurde beim Übergang vom ersten Ausdruck zum zweiten Ausdruck bei Schritt 1 geändert? (x - 2)² wurde einfach entwickelt. (x - 2)² ist einfach (x - 2) (x - 2). (4x - 3) wurde noch nicht verändert. Das sieht richtig aus. In Schritt 2 sieht es so aus, als wäre versucht worden, (x - 2) ⋅ (x - 2) zu multiplizieren. Du rechnest x ⋅ x, was x² ergibt. Du rechnest x ⋅ (-2) = -2x. Du rechnest -2 ⋅ x = -2x. Dann hast du -2 ⋅ (-2), was +4 ergibt. Sieht so aus, als wäre es korrekt ausmultipliziert. Schritt 2 ist also auch richtig. Was passiert in Schritt 3? Die ganze Zeit wurde (4x - 3) noch nicht verändert. Die Person versucht, es zu vereinfachen, und hat nur diese beiden mittleren Terme addiert. -2x - 2x = -4x. Das sieht also immer noch richtig aus. Das x² hat sich nicht verändert, die +4 hat sich nicht verändert, es wurden nur die beiden mittleren Terme addiert. Wir kommen zu Schritt 4, wo versucht wurde, diese beiden Ausdrücke zu multiplizieren, es wird also algebraische Multiplikation durchgeführt. Mal sehen, ob wir es nachvollziehen können. Wir rechnen 4x ⋅ x², was in der Tat 4x³ ergibt. Dann rechnen wir 4x ⋅ (-4x), was -16x² ergibt. Das ist also richtig. Dann rechnen wir 4x ⋅ 4, was 16x ergibt, und das steht genau hier. Dann rechnen wir -3 ⋅ x², was -3x² ergibt, das steht genau hier. Dann rechnen wir -3 ⋅ -4x, was + 12x ergibt, und hier steht - 12x. Die Person hat also Minus mit Minus multipliziert, aber trotzdem ein Minus als Vorzeichen gesetzt. -3 ⋅ (-4x). Minus mal Minus ergibt Plus. + 12x. Hier wurde also ein Fehler gemacht. Dann wurde weitergerechnet: -3 ⋅ 4, was in der Tat -12 ergibt, dieser Teil stimmt also. Der Fehler ist also, dass hier + 12x stehen sollte. Der Fehler ist also in Schritt 4. In Schritt 4 ist der Fehler, und dadurch hat die Person hier die falsche Antwort erhalten, da sie - 12x geschrieben hat. Wenn man mit - 12x weiterrechnet, rechnet man -12x + 16x und erhält 4x. Aber wir wissen, dass es + 12x sein müssen. Also müssten wir 28 erhalten. Das hier müssten 28x sein. Aber hier ist ein Fehler passiert. Ohne den Fehler wäre dieser Schritt richtig. In Schritt 4 ist der eigentliche Fehler passiert. Wir machen weiter, damit wir etwas mehr Übung im Betrachten von Polynom-Manipulationen erhalten, und überprüfen können, ob sie stimmen. Das hier ist aus einer Übung von Khan Academy. Schauen wir mal, welche dieser Identitäten gültig sind. Welche davon sind gültige Aussagen? Die erste, (2x + y) (4x - 2y) ergibt all das hier drüben. Wir multiplizieren sie nun aus. 2x ⋅ 4x = 8x². 2x ⋅ (-2y) = -4xy. y ⋅ 4x = + 4xy. y ⋅ (-2y) = -2y². Habe ich das richtig gemacht? 2x ⋅ (-2y) = -4xy. 4x ⋅ y = + 4xy. Diese zwei kürzen sich also weg. Das sieht also schon verdächtig aus. Es bleibt 8x² - 2y² übrig. Wenn wir eine 2 ausklammern, haben wir 2 (4x² - y²). Das hier ist also keine gültige Aussage. Kommen wir zur nächsten. (n + 2)² - n² ergibt das hier. Aber was ist (n + 2)²? Das ergibt n² + 4n + 4, da wir 2n + 2n rechnen, also 4n + 4. Dann subtrahieren wir ein n². Das kürzt sich weg, also bleibt 4n + 4 übrig, was dasselbe wie 4(n + 1) ist. Diese Gleichung stimmt also. Es ist eine gültige Identität bzw. Gleichung. Dann haben wir die letzte. Schauen wir, ob wir sie ausmultiplizieren können. Wenn ich a ⋅ 2a rechne, ergibt das 2a². a ⋅ 1 = + a. b ⋅ 2a = + 2ab. b ⋅ 1 = + b. Und dann subtrahieren wir ein b. Die kürzen sich weg. Es bleibt 2a² + a + 2ab übrig. Es sieht so aus, als wäre ein a ausgeklammert worden, also versuchen wir das auch mal. Wenn wir ein a ausklammern, ist dieser erste Term 2a, hier bleibt + 1 übrig, und hier bleibt 2b stehen. Und das ist exakt dasselbe, was hier oben steht, nur in einer anderen Reihenfolge. a (2a + 2b + 1). Sie stimmt also. Ich hoffe, du hast jetzt etwas Übung darin, kritisch zu beurteilen, ob Leute gültige Aussagen machen. Und es nützt dir am meisten darin, zu beurteilen, ob du selber gültige Aussagen machst. Ich hoffe, es hilft dir weiter.