Quadratische Ungleichung - Textaufgabe

Lisa besitzt einen Süßigkeitenautomaten, der zufällig aus einem Sortiment von Süßigkeiten auswählt. Lisa stellt die Wahrscheinlichkeit ein, mit der jede Süßigkeit ausgewählt wird. Sie hat nicht mehr viel "Honey Bunny" übrig, also will sie die Wahrscheinlichkeit so einstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, zweimal in Folge eine andere Süßigkeit zu bekommen, größer als das 2 1/4-fache der Wahrscheinlichkeit ist, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen. Ich lese es nochmal vor. Sie will die Wahrscheinlichkeit so einstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine andere Süßigkeit zweimal in Folge zu bekommen, bzw. jede andere Süßigkeit zweimal in Folge zu bekommen, größer als das 2 1/4-fache der Wahrscheinlichkeit ist, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen. Stelle eine Ungleichung auf, die diese Situation abbildet. Verwende p für die Wahrscheinlichkeit, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen. Löse die Ungleichung und vervollständige den Satz. Denk daran, dass eine Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 0 und 1 sein muss. Wir sollen also hier die Ungleichung eintragen, die diese Aufgabe abbildet. Und dann sollen wir den Satz vervollständigen: "Die Wahrscheinlichkeit, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen, muss...." Wir haben ein paar Anwortmöglichkeiten: "größer als", "größer-gleich", "kleiner als" oder "kleiner-gleich". Und dann müssen wir hier eine Zahl einsetzen. Ich habe diese Aufgabe zur Bearbeitung kopiert. Lass uns darüber nachdenken. p soll für die Wahrscheinlichkeit stehen, "Honey Bunny" in einem Versuch zu erhalten. Und hier steht, dass sie die Wahrscheinlichkeit so einstellen will, dass die Wahrscheinlichkeit, eine andere Süßigkeit zweimal hintereinander zu bekommen, größer als das 2 1/4-fache der Wahrscheinlichkeit ist, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen. Wenn p also die Wahrscheinlichkeit ist, "Honey Bunny" zu bekommen, wie lautet dann die Wahrscheinlichkeit, jede andere Süßigkeit in einem Versuch zu bekommen? Sie lautet 1 - p. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit p haben, "Honey Bunny" zu bekommen, dann haben alle anderen Süßigkeiten außer "Honey Bunny" die Wahrscheinlichkeit 1 - p. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander nicht "Honey Bunny" zu erhalten? Wir multiplizieren einfach diese Wahrscheinlichkeit mit sich selbst. Also (1 - p)(1 - p) bzw. (1 - p)². Das hier ist also die Wahrscheinlichkeit, irgendeine andere Süßigkeit zweimal hintereinander zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, jede andere Süßigkeit außer "Honey Bunny", zweimal hintereinander zu bekommen. Wir wissen, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als das 2 1/4-fache der Wahrscheinlichkeit sein muss, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen. Größer als das 2 1/4-fache der Wahrscheinlichkeit, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen, also p. Der erste Teil ist erledigt. Wir haben eine Ungleichung aufgestellt, die die Situation abbildet. Jetzt wollen wir diese Ungleichung lösen. Um das zu tun, erweitere ich (1 - p)². Dafür multipliziere ich es einfach aus. Es ergibt 1² - 2p + p². Und das ist größer als 2 1/4p. Jetzt subtrahieren wir 2 1/4p von beiden Seiten. Ich ändere die Reihenfolge. Wir erhalten p². Dann haben wir -2p - 2 1/4p, was -4 1/4p ergibt. Ich schreibe es als (-17/4)p + 1 > 0. Jetzt wollen wir den quadratischen Ausdruck hier lösen. Unter welchen Umständen ist er größer als 0? Um das herauszufinden, faktorisieren wir ihn. Und davor vereinfachen wir ihn noch etwas. Ich will 17/4 loswerden, also multiplizieren wir beide Seiten mit 4. Und da 4 eine positive Zahl ist, verändert sie dieses Zeichen bzw. die Richtung dieser Ungleichung nicht. Wir können es also als 4p² - 17p + 4 > 0 schreiben. Was sind die Wurzeln hiervon? Wir können die quadratische Formel benutzen, wenn wir schnell sein wollen. Es gibt auch andere Lösungswege. Wir haben 17 ± √((-17)² - 4ac), also 17 ± √(289 - 4ac), a ⋅ c = 16, 16 ⋅ (-4) ergibt -64. Im Nenner haben wir dann 2a, also 8. (17 ± √(225)) / 8, also haben wir (17 ± 15) /8. (17 - 15) / 8 ergibt 2/8 bzw. 1/4. Das ist also eine Lösung. Das ist die Lösung für das Minus. Und wenn wir 17 + 15 rechnen, erhalten wir 32, 32 dividiert durch 8 ergibt 4. Also haben wir zwei Ergebnisse. Jetzt klammern wir aus. Wir können das als (p - 1/4)(p - 4) > 0 schreiben. Wann stimmt diese Ungleichung? Wenn du das Produkt von zwei Termen nimmst, und sie größer als 0 sind, bedeutet es, dass diese beiden Dinge dasselbe Vorzeichen haben müssen. Oder besser gesagt: Sie müssen beide negativ oder beide positiv sein. Jetzt schauen wir uns diese beiden Situationen an. Beide positiv oder beide negativ. Wenn beide positiv sind, bedeutet es, dass p - 1/4 > 0 ist und p - 4 > 0 ist. Ich addiere 1/4 zu beiden Seiten. Ich erhalte p > 1/4 und p > 4. Das ist für den Fall, dass beide positiv sind. Was, wenn sie beide negativ sind? Dann haben wir p - 1/4 < 0 und p - 4 < 0. Wir addieren hier 1/4. p muss also kleiner als 1/4 sein, und p muss kleiner als 4 sein. Was sagt uns diese Beschränkung? p muss größer als 1/4 und p muss größer als 4 sein. Wenn p > 4 ist, dann ist es definitiv größer als 1/4. Das alles sagt uns also, dass p > 4 sein muss. Das ist für den Fall, dass beide positiv sind. p muss größer als 4 sein. Was ist hier drüben? Wenn p < 1/4 ist, dann ist es definitiv kleiner als 4. Das alles sagt uns also, dass p kleiner als 1/4 sein muss. Wofür entscheiden wir uns also? p > 4 oder p < 1/4? Wir müssen daran denken, dass es hier um eine Wahrscheinlichkeit geht. Es geht um die Wahrscheinlichkeit, dass jemand in einem Versuch eine "Honey Bunny" Süßigkeit bekommt. Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen, es ergibt also keinen Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit größer als 4 sein muss. Es ergibt keinen Sinn innerhalb des Fragenkontexts. Also nehmen wir die Lösung, dass die Wahrscheinlichkeit, eine "Honey Bunny" zu bekommen, kleiner als 1/4 bzw. 0,25 sein muss, was absolut Sinn ergibt. Jetzt tragen wir also diese Informationen ein. Das war die Ungleichung, die die Aufgabe abgebildet hat. Und wir haben herausgefunden, dass p < 1/4 sein muss. Zurück zur Aufgabe. Die Ungleichung lautet: (1 - p)² > 2 1/4p, was ich als 2,25p schreibe. Und die Wahrscheinlichkeit, "Honey Bunny" in einem Versuch zu bekommen, muss kleiner als 0,25 sein. Wir sind fertig.