Exponentialgleichung - Textaufgabe

Liam hat ein Sparkonto eröffnet und 6.250€ eingezahlt. Jedes Jahr wächst das Konto um 20% an. Wie viele Jahre dauert es, bis der Kontostand 12.960€ erreicht? Stelle eine Gleichung auf, die diese Situation abbildet. Verwende t für die Anzahl der Jahre, seit Liam das Konto eröffnet hat. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und zu versuchen, die Aufgabe zuerst selbst zu lösen. Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die die Situation abbildet und die Variable t wie beschrieben verwendet. Und dann beantworte die Frage: Wie viele Jahre dauert es, bis der Kontostand 12.960€ beträgt? Fangen wir an. t steht für die Anzahl der Jahre, seit Liam das Konto eröffnet hat. Zuerst haben wir 0 Jahre seit Liam das Konto eröffnet hat. Wie viel Geld hat er? Er hat 6250€ auf seinem Konto. Das ist der Betrag, mit dem er anfängt. Jetzt ist es 1 Jahr her, dass er das Konto eröffnet hat. Wie viel Geld hat er jetzt? Er hat 6250€ + 20%(6250). Der Kontostand wächst jedes Jahr um 20% an. So viel hatte er am Anfang des Jahres, und dann erhält er zusätzliche 20% von diesen 6250€. Wenn wir eine 6250 ausklammern, ergibt es 6250(1 + 0,2), was 6250 ⋅ 1,2 ergibt. Wie viel Geld hat er nach 2 Jahren? Er hat den Betrag, den er am Ende des ersten Jahres hatte, multipliziert mit 1,2. Da er wieder um 20% angewachsen ist. Er hat also den Betrag, den er am Ende des ersten Jahres hatte, multipliziert mit 1,2, was 6250 ⋅ 1,2 ⋅ 1,2 ergibt. Das können wir auch als 6250 ⋅ 1,2² schreiben. Ich glaube, du siehst, was passiert. Was ist nach 3 Jahren? Nach 3 Jahren zinsen wir einfach auf. Wir multiplizieren wieder mit 1,2. Dann hat er 6250 ⋅ 1,2^3. Nach t Jahren multiplizieren wir t-mal mit 1,2. Nach t Jahren hat er also 6250 ⋅ 1,2^t. Wir sollen eine Gleichung aufstellen, die diese Situation abbildet. Wir wollen also herausfinden, wie viele Jahre es dauert, bis der Kontostand 12.960€ beträgt. Wann beträgt der Kontostand also 12.960€? Wir schreiben also links 12.960, und setzen diesen Betrag mit 6250 ⋅1,2^t gleich. Das ist die Gleichung, die diese Situation abbildet. Jetzt überlegen wir, wie wir diese Gleichung lösen. Wir wollen die Variable t isolieren. Wir dividieren beide Seiten durch 6250. Wenn wir die Seiten tauschen, haben wir 1,2^t = 12.960 / 6.250. Und da beide durch 10 teilbar sind, teilen wir sie einfach durch 10. Dann haben wir 1.296 / 625. Und es gibt jetzt mehrere Wege, wie wir diese Aufgabe lösen können. Wenn du dir sicher bist, dass wir eine ganzzahlige Antwort erhalten, könntest du einfach deinen Taschenrechner nehmen, und so oft mit 1,2 multiplizieren, bis du diese Zahl erhältst. Das könnten wir machen. Es gibt aber auch einen systematischeren Weg, wenn du Logarithmen kennenlernst, den ich dir am Ende zeigen werde, für den Fall, dass du Logarithmen noch nicht kennst. Du könntest einfach ausrechnen, was 1.296 / 625 ergibt. Es ergibt diesen Wert. Jetzt schauen wir, wie oft wir mit 1,2 multiplizieren müssen, okay, wir kommen nicht nahe genug heran. Also machen wir es dreimal. Jetzt nehmen wir dieselbe Zahl. Wir rechnen 1,2^3. Immer noch nicht nahe genug. Was, wenn wir noch einmal mit 1,2 multiplizieren würden? Dann kommen wir auf den Wert. 1,2^4 gibt uns diesen Wert. Das ist also eine Art, herauszufinden, dass t = 4 ist. Ein anderer Weg ist, zu erkennen, dass dieser Wert wie eine Fünferpotenz aussieht. Wir wissen, dass 5^1 = 5 ist, 5^2 = 25 ist, 5^3 = 125 ist und 5^4 = 625 ist. Du erkennst also vielleicht, dass das hier 5^4 ist. Und es ist vielleicht etwas schwieriger, zu erkennen, dass das hier 6^4 ist. Und das hier ist 6/5. Wir können es also als (6/5)^t = 6^4 / 5^4 schreiben. Was dasselbe ist wie (6/5)^4. Hier siehst du, dass (6/5)^t = (6/5)^4 sein muss. t muss also 4 sein. Es ist praktisch, wenn du erkennen kannst, dass das hier eine Viererpotenz ist, das ist nämlich nicht einfach. Wenn du weißt, dass das hier eine niedrige ganze Zahl ist, kannst du wiederholt mit 1,2 multiplizieren. Aber der systematische Lösungsweg ist es, Logarithmen zu verwenden. Und es gibt sehr viele Videos auf Khan Academy darüber, wie man Logarithmen verwendet. Wenn du einfach nur herausfinden willst, welchen Exponenten 1,2 haben muss, damit das hier herauskommt, dann schauen wir uns den Wert an, der mit 1,2^x gleichwertig sein soll. Wir nehmen den Logarithmus davon. Und du kannst einen Logarithmus mit jeder beliebigen Basis verwenden. Dein Taschenrechner hat einen natürlichen Logarithmus mit der Basis e, und einen Logarithmus mit der Basis 10. Wir nehmen jetzt einfach den log_10. Wir nehmen den Logarithmus von dem Wert, den wir erreichen wollen, also 2,0736, und dividieren das durch den Wert, den wir potenzieren, um diese Zahl zu erhalten. Also dividieren wir durch den Logarithmus von 1,2. Es sieht vielleicht ein bisschen magisch aus. Wir beweisen das in anderen Videos, aber wenn du solche Sachen mit einem Taschenrechner ausrechnen möchtest, denn manchmal hat man keine ganzen Zahlen, vielleicht sind es 3 1/2 Jahre, oder 7,1234 Jahre, was auch immer. Dadurch erhältst du ein genaueres Ergebnis. Wohin wollen wir also? Wir wollen zu 2,0736. Was potenzieren wir? 1,2. Dividiere den Logarithmus des Wertes, den du erreichen willst, durch den Logarithmus der Basis, die du potenzieren willst, und rechne es aus. Das ist einfach nur eine andere Art zu sagen, dass 1,2^4 = 2,0736 ist. Wenn dir das wie Magie vorkommt, und du nicht weißt, was Logarithmen sind, dann schau dir die Videos auf Khan Academy dazu an. Aber es gibt mehrere Lösungswege, besonders bei dieser Aufgabe, bei der die Lösung relativ einfach war.