Rationale Gleichung - Textaufgabe

Dominique von "Dominiques Pizza" backt jeden Tag die gleiche Menge Pizzas. Sie gab bisher jeden Tag 8€ für die Benutzung des Ofens und 1,50€ für die Zutaten pro Pizza aus. Eines Tages hat sich der Preis der Zutaten von 1,50€ auf 2€ pro Pizza erhöht. Dominique hat gerechnet und herausgefunden, dass sie jeden Tag 8 zusätzliche Pizzen backen sollte, damit die Ausgaben für eine einzelne Pizza gleich bleiben. Wir nehmen an, es geht um die Gesamtkosten einer Pizza, da die Kosten für die Zutaten nicht gleich sind. Es geht um die Gesamtkosten. Wir müssen also die täglichen Gesamtkosten für den Ofen auf alle Pizzen verteilen. Erstelle eine Gleichung, um herauszufinden, wie viele Pizzen Dominique täglich vor der Preisänderung gebacken hat. Verwende p für die Anzahl der Pizzen. Wir denken also über die Gesamtkosten pro Pizza vorher nach, und die Gesamtkosten pro Pizza danach, wenn sie 8 zusätzliche Pizzen backt. Wir verwenden p für die Anzahl der Pizzen, die sie vor der Preisänderung gebacken hat. Vor der Preisänderung hat sie täglich 8€ für den Ofen und 1,50€ für die Zutaten pro Pizza ausgegeben. Also 1,5 bzw. 1,50€ multipliziert mit der Anzahl der Pizzen. Das sind die Gesamtkosten für alle Pizzen an diesem Tag. Es sind die Ofenkosten plus die Zutatenkosten. Wenn du jetzt den Preis pro Pizza ausrechnen möchtest, dividierst du einfach durch die Anzahl der Pizzen. Jetzt überlegen wir, was nach der Preisänderung passiert. Nach der Preisänderung bezahlt sie immer noch 8€ pro Tag für den Ofen. Aber jetzt muss sie 2€ pro Pizza für Zutaten ausgeben. Und anstatt dass sie p Pizzen backt, backt sie jetzt täglich 8 zusätzliche Pizzen. Also haben wir p + 8. Und das sind ihre Gesamtkosten für alle Pizzen, die sie jetzt backt. Und wenn du die Kosten pro Pizza ausrechnen willst, dann backt sie p + 8 Pizzen, also dividieren wir durch p + 8. Und die Aufgabe sagt uns, dass diese beiden Terme gleichwertig sind. Hier hatten wir höhere Zutatenkosten pro Pizza, aber da wir jetzt mehr Pizzen backen, verteilen sich die Ofenkosten auf mehr Pizzen. Überlegen wir nun, was p sein muss. p muss eine Anzahl von Pizzen sein, damit diese zwei Ausdrücke gleichwertig sind. Ihre Gesamtkosten als sie nur p Pizzen machte, sind genauso hoch wie ihre Gesamtkosten pro Pizza wenn sie p + 8 Pizzen macht. Diese beiden Dinge müssen also gleich sein. Wir haben also den ersten Teil erledigt, wir haben eine Gleichung aufgestellt, um herauszufinden, wie viele Pizzen Dominique vor der Preisänderung täglich gebacken hat. Und wir haben p für die Anzahl der Pizzen verwendet. Jetzt lösen wir nach p auf. Vorher vereinfachen wir etwas. Wir multiplizieren beide Seiten mit (p + 8) und mit p. Die beiden kürzen sich weg. Links müssen wir zweimal das Distributivgesetz anwenden. Was ergibt p ⋅ 8 + 1,5p? Zuerst ergibt es 8p, da ich p zuerst mit 8 multipliziere. Dann addiere ich 1,5p². Und jetzt multipliziere ich 8 mit diesen beiden Termen. Wir addieren 64, und 8 ⋅ 1,5 ergibt 12, also 12p. Rechts multiplizieren wir jetzt p mit diesem Ausdruck. 8 ⋅ p = 8p. Ich kann diese Terme ausmultiplizieren, und dann mit p multiplizieren. 2 ⋅ p = 2p, 2p ⋅ p = 2p². 2 ⋅ 8 = 16, 16 ⋅ p = 16p. Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung, die wir vereinfachen können, damit wir sie entweder faktorisieren oder die quadratische Formel anwenden können. Wir subtrahieren 1,5p² von beiden Seiten. Ich glaube, ich hole doch alles auf die linke Seite, ich glaube, das ergibt mehr Sinn. Jetzt subtrahieren wir 2p² von beiden Seiten. Dann subtrahieren wir 16p von beiden Seiten. Wir haben 8p und 12 p, und wir subtrahieren 16p von beiden Seiten. Und dann subtrahieren wir noch 8p von beiden Seiten. Wir haben 16p und 8p, also funktioniert das ganz gut. Wir haben jetzt also 8p und 16p von beiden Seiten subtrahiert. Wir haben also das alles hier von beiden Seiten subtrahiert. Was bleibt übrig? 1,5p² - 2p² = -0,5p². Diese beiden kürzen sich weg. 12p - 16p = -4p. Und dann haben wir +64. Und das ergibt 0. Und um es etwas zu vereinfachen, multipliziere ich beide Seiten dieser Gleichung mit -2. Ich will, dass der Koeffizient hier 1 ist. Dann erhalten wir p² + 8p - 128, da 64 ⋅ (-2) = -128 ergibt. Rechts bleibt 0 übrig. Mal schauen, ob wir faktorisieren können. Fallen dir zwei Zahlen ein, die miteinander multipliziert -128 und miteinander addiert 8 ergeben? Sie haben also verschiedene Vorzeichen. Welche Zahlen könnten es sein? Lass uns mal nachdenken. Wie oft passt 16 in 128? Passt die 16 8-mal in 128? 8 ⋅ 6 = 48. 8 ⋅ 10 = 80. 80 + 48 = 128. Ja, sie passt 8-mal rein. Unsere Zahlen sind also 16 und 8. Wenn wir also +16 und -8 haben, dann ergibt ihr Produkt -128. Wir können das also als (p + 16)(p - 8) = 0 schreiben. Diese Gleichung wird 0, wenn mindestens einer ihrer Faktoren 0 wird. Wir haben also zwei Lösungen. Entweder ist p + 16 = 0, oder p - 8 = 0. Wenn wir bei diesem hier von beiden Seiten 16 subtrahieren, erhalten wir p = -16. Hier erhalten wir p = 8, wenn wir 8 zu beiden Seiten addieren. Es geht hier um die Anzahl von gebackenen Pizzen. Diese Lösung können wir also wegstreichen. Das wäre so, als würde Dominique 16 Pizzen am Tag essen oder vernichten. Diese Lösung ergibt keinen Sinn. Wir haben also die Lösung für die ursprüngliche Frage, wie viele Pizzen sie vor der Preiserhöhung gemacht hat: Sie hat 8 Pizzen pro Tag gemacht. Also ist unsere Lösung p = 8. Vor der Preisänderung hat sie täglich 8 Pizzen gemacht. Nach der Preisänderung hat sie täglich 8 zusätzliche Pizzen gemacht, also 16 Pizzen pro Tag.