Vergleich des Wachstums exponentieller und quadratischer Modelle

Die Cozy Car Company liefert Autos nach Japan und Vietnam. Die Zahl der Autos, die in t Monaten nach Japan geliefert werden, wird durch die Funktion j von t gleich 2 hoch t dargestellt. Die Zahl der Autos, die in t Monaten nach Vietnam geliefert werden, wird durch die Funktion v von t gleich 2 mal t zum Quadrat dargestellt. Welches Land hat nach 5 Monaten mehr Autos erhalten, Welches Land hat nach 5 Monaten mehr Autos erhalten, oder wird nach 5 Monaten mehr Autos erhalten haben? Mal sehen, wie viele Autos Japan nach 5 Monaten erhalten hat. t sind die Monate, j von 5 ist 2 hoch 5. Das ist gleich 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2, und Das ist gleich 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2, und mal 2 ist einfach 4, 8, 16, 32. Japan hat 32 Autos erhalten. Nun sehen wir uns Vietnam an. v von 5 ist 2 mal in Klammern 5 zum Quadrat. Also 2 mal 25 und das ist 50. Auf Grundlage dieser beiden Modelle sehen wir, wie viele Autos die Länder nach t Monaten erhalten haben. Nach 5 Monaten wird Vietnam mehr Autos erhalten haben. Die Antwort auf diese Frage ist Vietnam. Vietnam hat nach 5 Monaten mehr Autos erhalten. Welches Land wird nach 7 Monaten mehr Autos bekommen haben? nach 7 Monaten mehr Autos bekommen haben? Lass uns das ausprobieren. j von 7 ist gleich 2 hoch 7. Mal schauen. 2 hoch 6 ist 32. Wir können hier auch sagen: 2 hoch 5 mal 2 mal 2, und das ist gleich -- das ist 32 mal 4 also gleich 128. Japan hat nach 7 Monaten 128 Autos erhalten. Jetzt Vietnam, v von 7 sind 2 mal in Klammern 7 zum Quadrat, also 2 mal 49, und das sind dann 98 Autos. Nach 7 Monaten würde Japan mehr Autos erhalten haben. Nach 7 Monaten würde Japan mehr Autos erhalten haben. Nach 7 Monaten würde Japan mehr Autos erhalten haben. Das ist interessant. Wir sehen, dass die Exponentialfunktion-- das ist die, wo du das t im Exponenten hast, langsamer startet als die quadratischen Funktion, langsamer startet als die quadratischen Funktion. Also die, bei der du etwas quadrierst. Sie beginnt langsamer. Nach 5 Monaten, würden weniger Autos ausgeliefert worden sein, als bei diesem quadratischen Modell hier rechts. Aber dann holt die Funktion auf und beginnt, sich mit einer immer schnelleren Rate zu vervielfachen. Nach 7 Monaten hat sie die quadratischen Funktion sogar überholt. Welches Land wird mehr Autos von der Cozy Car Company erhalten haben? ... Wird das Land, das nach 7 Monaten mehr Autos erhalten hat, in den kommenden Monaten weiterhin mehr Autos erhalten? in den kommenden Monaten weiterhin mehr Autos erhalten? Ja, absolut. Sobald die Exponentialfunktion die die quadratische Funktion erreicht hat es geht einfach immer schneller. Die Rate erhöht sich immer schneller und schneller. Du siehst das, wenn du das mit dem Ergebnis von 8 Monaten vergleichst. j von 8 wäre für diese Exponentialfunktion 2 hoch 8. Das wäre das mal 2. Also würden sie 256 Autos bekommen. Und v von 8: v von 8 ist 2 mal in Klammern 8 zu Quadrat, also 2 mal 64, und das ist 128. Wir hätten also nach Japan doppelt so viele Autos verschifft wie nach Vietnam. Das ist nicht der gleiche Fall wie hier drüben. Hier haben wir mehr Autos nach Japan verschifft, aber nicht doppelt so viele. So könnten wir weitermachen. Wir können jetzt j von 9 ausrechnen. j von 9 ist 2 hoch 9, und das ist 256 mal 2 oder 512 Autos. v von 9, v von 9 ist 2 mal in Klammern 9 zum Quadrat, also 2 mal 81. Das ist 162. Das ist jetzt viel mehr als das Doppelte, sogar mehr als das Dreifache. Du siehst, wenn die ersten Monate überwunden wurden steigt die Exponentialfunktion stark an, und zwar mit einer viel, viel höheren Rate. Wir zeichnen das jetzt mal mit einem Graphik-Taschenrechner. Um diese zwei Funktionen sichtbar zu machen, stellen wir sie graphisch dar. Nehmen wir zunächst die Exponentialfunktion. x hoch -- x ist unsere unabhängige Variable -- 2 hoch x. Nun die quadratische Funktion. y von 2, bei uns ist das v von 2. 2 mal x, 2 mal x zum Quadrat. Ich lege nun noch den Definitionsbereich fest. Ich lege nun noch den Definitionsbereich fest. Mal schauen. Wir beginnen mit x bei 0, und dann gehen wir bis 10. und dann gehen wir bis 10. Die x-Skala könnte 1 sein. Die x-Skala könnte 1 sein. Mit y beginnen wir auch bei 0, und als Maximalwert nehmen wir 1000 an. Als Skala für y wählen wir 100 und wir gehen bis 1000. 100. Jetzt können wir die Funktionen graphisch darstellen. Jetzt können wir die Funktionen graphisch darstellen. Mal sehen was passiert. Er arbeitet noch. Das hier drüben ist die exponentielle, und das hier die quadratische Funktion. Ich vergrößere das mal, so dass wir sehen können, wo sie sich schneiden. Oder ich zoome hier hinein und mache das in einem extra Fenster, damit wir wirklich gut sehen können, wo sie sich schneiden. damit wir wirklich gut sehen können, wo sie sich schneiden. Ich werde dort starten. Ich mache das hier -- mal sehen -- Hups. Es ist komisch, einen Rechner auf einem Computer so zu nutzen. Aber du siehst jetzt in jedem Fall, das, was wir schon graphisch dargestellt haben, dass die Exponentielle wirklich steil nach oben geht, während die Quadratische nur-- Nun, sie steigt mit und mit, aber bei weitem nicht so schnell, und die Differenz wird immer und immer größer und nimmt mit der Zeit zu. Mal schauen. Das hier, das ist die Exponentialfunktion. Das ist 2 hoch t. Das hier ist die quadratische Funktion. Sie siehst hier -- Das hast du eben auch schon gesehen-- Die quadratische Funktion hat zu Beginn höhere Werte, das hast du auch hier gesehen. Nach 5 Monaten wurden mehr Autos nach Vietnam verschifft. Aber dann überholt die Exponentielle die Quadratische, und steigt immer schneller nach oben, und steigt mit einer immer höheren Rate.