Lineares vs. exponentielles Wachstum: aus Werten bestimmen (Beispiel 2)

Diese Tabelle zeigt die Temperatur eines warmen Glas Wassers, das in einen Gefrierschrank gestellt wurde. Angegeben ist die Zeit in Minuten und die Temperatur zu den verschiedenen Zeitpunkten. Welches Modell für C(t), das für die Temperatur des Glases Wasser t Minuten, nachdem es serviert wird steht, passt am besten zu den Daten? Pausiere das Video und finde heraus, welches Modell am besten zu den Daten passt. Jetzt lösen wir es gemeinsam. Wir haben verschiedene Antwortmöglichkeiten, manche davon sind exponentielle Modell, manche davon sind lineare Modelle. Damit ein lineares Modell wirklich passt, sollten wir bei einer festgelegten Zeitänderung auch eine festgelegte Temperaturänderung haben. Bei einem Exponentialmodell mit einer festgelegten Zeitveränderung sollten wir eine Änderung um denselben Faktor haben. Die Menge, die sich ändert, z.B. von Minute 1 zu Minute 2, oder Minute 2 zu Minute 3, sollte nicht die exakt selbe Menge sein, aber es sollte derselbe Faktor vom Ausgangspunkt aus sein. Mal überlegen. Hier haben wir eine Zeitveränderung von 2 Minuten. Welche absolute Temperaturveränderung haben wir? Unsere absolute Temperaturveränderung ist -15,7. Was, wenn wir es als eine Multiplikation betrachten? Mit was multiplizieren wir 80 um 64,3 zu erhalten? Ich benutze den Taschenrechner dafür. 64,3 dividiert durch 80 ist ungefähr 0,8. Wir könnten also mit 0,8 multiplizieren. Es ist ein gerundeter Wert. Um von 80 zu 64,3 zu kommen, kann ich entweder 15,7 subtrahieren, wenn ich es mit einem linearen Modell zu tun habe, oder mit 0,8 multiplizieren. Wenn meine Zeit wieder um 2 steigt, ich also von Minute 2 zu Minute 4 gehe, dann ist ▲t = 2, welche absolute Änderung haben wir dann? Ich rechne es mal im Kopf aus. Es ergibt 11,6, also eine Änderung von -11,6. Wenn wir es aber als eine Multiplikation mit einem Faktor betrachten, mit was würden wir ungefähr multiplizieren? Wir benutzen wieder den Taschenrechner. 52,7 dividiert durch 64,3 ergibt ungefähr 0,82. Wir multiplizieren also mit 0,82. Ich könnte weitermachen, aber ich sehe bereits, dass bei unserer Zeitveränderung die absolute Veränderung in der Zahl nicht mal ansatzweise dieselbe ist. Wenn das hier 15,6 wäre, dann wäre das vielleicht ein Fehler, Daten aus der realen Welt sind niemals perfekt. Das sind Modelle, die versuchen, uns so gut wie möglich die Daten zu beschreiben. Aber hier multiplizieren wir mit einem Faktor von ungefähr 0,8. Du denkst jetzt vielleicht, dass das bedeutet, dass C(t) = 80(Anfangstemperatur) ⋅ 0,8(Basis)^t ist. Das wäre zwar der Fall, wenn das Minute 1, und das Minute 2 wäre, aber unsere Zeitveränderung beträgt jedes mal 2 Minuten. Es dauert also 2 Minuten, um eine Multiplikation von 0,8 zu haben. Wir müssen also 0,8^(t/2) verwenden. Bei t = 0 hätten wir 80. Nach 2 Minuten rechnen wir 80 ⋅ 0,8, was wir dort gemacht haben. Nach 4 Minuten rechnen wir 80 ⋅ 0,8^2. Wir überprüfen nochmal, ob die Funktion stimmt. Ich zeichne eine Tabelle mit t und C(t). Wenn t = 0 ist, dann ist C(t) = 80. Wenn t = 2 ist, dann rechnen wir 80 ⋅ 0,8 was sehr nahe an dem ist, was hier steht. Wenn t = 4 ist, rechnen wir 80 ⋅ 0,8^2, was dem hier ebenfalls sehr nahe kommt. Ich kann es für dich ausrechnen. Wenn ich 0,8^2 ⋅ 80 rechne, erhalte ich 51,2. Es ist ziemlich nahe dran, wir haben ein sehr gutes Modell. Mir gefällt dieses Modell. Es ist aber nicht exakt eine der Antwortmöglichkeiten, wie formen wir es also um? Wir erinnern uns daran, dass das dasselbe wie 80 ⋅ (0,8^(1/2))^t ist. Und was ergibt 0,8^(1/2)? Es ist dasselbe, wie die Wurzel von 0,8 zu ziehen. Es ergibt ungefähr 0,89. Das ist also ungefähr 80 ⋅ (0,89)^t. Wenn du dir die Antworten anschaust, ist diese hier sehr nahe dran. Dieses Modell passt am besten zu unseren Daten, es kommt unserem Modell hier sehr nahe. Es gibt noch einen einfacheren Lösungsweg. Ich mache es gerne so, denn selbst ohne Antworten hätten wir ein sinnvolles Ergebnis erhalten. Wir könnten auch einfach sagen, dass 80 unser Anfangswert ist. Egal, ob es um exponentielle oder lineare Modelle geht, alle beginnen bei 80 wenn t = 0 ist. Es ist aber eindeutig kein lineares Modell, da die Änderungsmenge jedes Mal nicht ähnlich ist. Aber alle 2 Minuten haben wir eine Änderung mit dem Faktor 0,8, also haben wir ein Exponentialmodell. Du weißt also, dass es eine dieser beiden Möglichkeiten ist. Diese hier kannst du ausschließen, da wir keine minütliche Veränderung um einen Faktor von 0,81 haben. Wir haben eine Veränderung um einen Faktor von 0,81 alle 2 Minuten, diese Möglichkeit fällt also raus. Hier siehst du, dass, wenn wir jede Minute eine Änderung um einen Faktor von 0,9 haben, das eine Änderung von 0,81 alle 2 Minuten ist, was sehr nahe dran ist, an dem was wir hier sehen, nämlich eine Änderung um einen Faktor von ungefähr 0,8 oder 0,81 alle 2 Minuten. Deshalb nehmen wir Antwortmöglichkeit 1.