Linear vs. exponentielles Wachstum: aus Werten bestimmen

Die Anzahl der Äste einer Eiche und einer Birke seit 1950 sind in diesen Tabellen abgebildet. Die Eiche hat zu Beginn 34 Äste. Nach 3 Jahren hat sie 46 Äste und so weiter. Für die Birke haben wir ähnliche Daten. Zu Beginn hat sie 8 Äste. Nach 10 Jahren hat sie 33 Äste und so weiter. In diesem Video möchte ich darüber nachdenken, wie wir diese Daten mithilfe von Funktionen darstellen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aber in diesem Video werden wir uns zwischen linearen und exponentiellen Funktionen entscheiden. Welche Art ist besser dafür geeignet, diese Daten abzubilden? Beginnen wir mit der Eiche. Wir haben eine festgelegte Zeitzunahme, jeder dieser Schritte ist +3 Jahre. Wir haben also eine festgelegte Zeitzunahme. Was passiert mit der Anzahl meiner Äste? Haben wir eine festgelegte Veränderung, oder ungefähr eine festgelegte Veränderung, bei der ein lineares Modell hilfreich wäre, oder haben wir eine Veränderung, die davon abhängig ist, wo wir vorher waren? Was meine ich damit? Von 34 zu 46, das ist +12. 46 zu 59 ist +13. 59 zu 70 ist +11. 70 zu 82 ist +12. Dir fällt vielleicht auf, dass das nicht unbedingt eine festgelegte Änderung ist. Diese Zahlen haben 12 als Durchschnitt, aber wenn du dir echte Daten anschaust, wirst du nie so etwas exaktes erhalten. Die Modelle werden uns nur eine gute Annäherung daran geben, wie sich die Anzahl der Äste im Laufe der Zeit verändern wird. Das ist sehr nah an kostant 12 Ästen alle 3 Jahre. Also entscheide ich mich für ein lineares Modell. Hier sind die Äste eine Funktion der Zeit. Wir haben nicht 12 Äste pro Jahr, sondern 12 Äste in 3 Jahren. Hier haben wir 13 Äste in 3 Jahren, hier haben wir 11 Äste in 3 Jahren. Wir haben also im Durchschnitt 12 Äste in 3 Jahren. Wir beginnen mit den 34 Ästen, die wir zur Beginn haben. Wenn wir alle 3 Jahre 12 Äste hinzubekommen, dann addieren wir jedes Jahr 4 Äste. Du kannst es ausprobieren. B(0) = 34. Wir testen die extremen Teile des Modells. B(12) = 34 + 48 = 82. Das Modell funktioniert also gut. Es gibt ein paar Punkte, an denen es nicht exakt mit den Daten übereinstimmt, aber es ist schon sehr nahe dran. Das ist also ein lineares Modell. Jetzt kommen wir zur Birke. Wir haben eine festgelegte Zeitzunahme in 10-Jahres-Schritten. Kommen wir zu den Ästen. Wir haben eine Zunahme von 8 zu 33. Was ist das? Das sind +25 Äste. Dann haben wir eine Zunahme von 33 zu 128. Das sind viel mehr als 25 Äste. Wie viele sind es? Es sind +95 Äste. Das ist eindeutig kein lineares Modell. Denken wir also über ein exponentielles Modell nach. Mit was multiplizieren wir bei jedem Schritt? Wenn wir eine konstante Zeitzunahme haben, mit was multiplizieren wir dann, um unsere Zunahme an Ästen zu bekommen? Bei 8 zu 33 multiplizieren wir ungefähr mit 4. Etwas mehr als 4. Bei 33 zu 128 haben wir etwas weniger als 4, aber ungefähr 4. 33 ⋅ 4 = 132, also sind wir nahe dran. 128 zu 512 ist exakt 4. 120 ⋅ 4 = 480, 480 + 32 = 512. Also multiplizieren wir mit 4. Es sieht also so aus, als würden wir alle 10 Jahre mit 4 multiplizieren. Wir stellen also eine Funktion B(t) auf, bei der unser Anfangswert 8 und unsere Basis 4 ist. Aber wenn wir wollen, dass t in Jahren angegeben ist, müssen wir daran denken, dass wir alle 10 Jahre mit einem Faktor von 4 multiplizieren. t muss also 10 erreichen, bevor der Exponent 1 wird, und t muss 20 erreichen, bevor der Exponent 2 wird. 8 ⋅ 4^(t/10) scheint also ein gutes Modell zu sein. Du kannst es selbst überprüfen. Versuche, B(30) auszurechnen. B(30) = 8 ⋅ 4^(30/10), also 8 ⋅ 4^3. Was ergibt das? 4^3 = 64. 8 ⋅ 64 = 480 + 32. Es ergibt 512. Dieses Exponentialmodell bildet unsere Daten also sehr gut ab.