Nullstellen von Polynomen bestimmen (Beispiel 2)

Ich habe hier das Polynom p(x). p(x) wird als ein Polynom 4. Grades multipliziert mit (3x - 8)² ausgedrückt. Hier würdest du 9x² und so weiter bekommen, und das multiplizierst du dann hiermit. Insgesamt würdest du also ein Polynom 6. Grades bekommen, aber unser Ziel ist es, die x-Werte zu finden, bei denen p(x) = 0 ergibt, bzw. die Nullstellen dieses Polynoms zu finden. Wir konzentrieren uns besonders auf die reellen Nullstellen dieses Polynoms. Ich ermutige dich wie immer, es selbst zu versuchen, und dann lösen wir die Aufgabe gemeinsam. Legen wir los. Ich will also p(x) = 0 auflösen, und herausfinden, welche x-Werte dazu führen, dass das Polynom = 0 ergibt. Ich muss also diesen Ausdruck auf der rechten Seite gleich 0 setzen, und dann nach x auflösen. Der einfachste Weg ist, so viel auszuklammern wie möglich. Wenn ich es in ein Produkt von ein paar Ausdrücken umschreiben kann, das 0 ergibt, ergibt es 0, wenn irgendeiner der Ausdrücke 0 ergibt. Also machen wir das jetzt. (3x - 8)² ist bereits sehr schön faktorisiert. Schauen wir mal, ob wir diesen Ausdruck links faktorisieren können. Ich versuche, durch Gruppierung zu faktorisieren. Ich gruppiere diese ersten beiden Terme, dann die zweiten beiden Terme. Bei der Faktorisierung durch Gruppierung macht man quasi das Distributivgesetz zweimal rückgängig. Was könnte ich von diesen ersten beiden Termen ausklammern? Ich könnte ein x³ ausklammern. Dann erhalte ich x³ (3x - 8). Interessant, dass wir auch rechts ein (3x - 8) stehen haben. Von diesen zweiten beiden Termen kann ich eine 5 ausklammern. Also haben wir hier + 5 (3x - 8). Sehr interessant. Ich habe natürlich die Klammern drumherum, und dann habe ich (3x - 8)². Diese (3x - 8) tauchen sehr oft auf. All das soll natürlich 0 ergeben. Jetzt kann ich hier ein (3x - 8) ausklammern, und erhalte (3x - 8) (x³ + 5) Ich klammere einfach nur (3x - 8) aus. Ich schließe die Klammer. Dann habe ich noch (3x - 8)². All das ergibt 0. Was ich gerade gemacht habe, sieht ein bisschen wie Magie aus. Du musst nur wissen, dass ich zwei Terme habe, und beide Vielfache von (3x - 8) sind. Ich habe nur (3x - 8) ausgeklammert, das Distributivgesetz rückgängig gemacht, es ausgeklammert, und von diesem Term bleibt x³ übrig, und bei diesem Term bleibt +5 übrig. Jetzt haben wir (3x - 8) (x³ + 5) (3x - 8)². Ich kann es einfach in (3x - 8)³ (x³ + 5) umschreiben, also mache ich das jetzt. (3x - 8)³ (x³ + 5) = 0. Um es nach 0 aufzulösen, muss entweder dieser Term hier 0 ergeben, oder dieser Term hier 0 ergeben. Denken wir zuerst über (3x - 8)³ = 0 nach. Ich kann es als (3x - 8)³ = 0, oder als x³ + 5 = 0 schreiben. Um (3x - 8)³ = 0 werden zu lassen, muss 3x - 8 = 0 sein. 3x = 8, wir dividieren beide Seiten durch 3, x = 8/3. Das ist ein Weg, um dieses Polynom nach 0 aufzulösen. x = 8/3. Dieser Teil hier wird 0, 0 multipliziert mit irgendwas ergibt 0. Das ist also eine Nullstelle unseres Polynoms. Bei x³ + 5 = 0 können wir 5 von beiden Seiten subtrahieren. Wir erhalten x³ = -5. Wenn wir beide hoch 1/3 nehmen, könnten wir sagen, dass x = ³√-5 ist. Du fragst dich vielleicht, ob du die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen kannst. Natürlich kannst du das. ³√-1 = -1. ³√-8 = -2. Selbst wenn wir mit reellen Zahlen zu tun haben. Das wird eine negative Zahl. Das hier wird keine imaginäre Zahl. Das sind also die zwei Nullstellen des Polynoms. Das ergibt ungefähr -1, wir können es exakt ausrechnen. Wir nehmen -5 hoch 1/3. -5 hoch 1/3 ergibt also ungefähr -1,71. Wir haben also zwei reelle Nullstellen in diesem Polynom. Das sind also die zwei Stellen, an denen die Funktion die x-Achse schneidet.