Nullstellen von Polynomen bestimmen (2 von 2)

Im letzten Video haben wir dieses Polynom faktorisiert, um seine reellen Nullstellen zu finden. Wir haben durch Gruppierung faktorisiert, was quasi bedeutet, dass wir das Distributivgesetz zweimal rückgängig machen. Und ich habe erwähnt, dass es zwei Wege gibt, das zu tun. Du kannst direkt am Anfang diese beiden mittleren Terme addieren, und von da aus weitermachen. Ich zeige dir in diesem Video jetzt diese Alternative. Wenn wir, anstatt zu gruppieren, diese beiden mittleren Terme addieren. Ich konzentriere mich nur auf das Polynom 4. Grades hier. Wir wissen, dass wir ein x vorne stehen haben. Dieses Polynom 4. Grades lässt sich zu x⁴ + 7x² - 18 vereinfachen. Wenn wir es faktorisieren wollen, könnten wir hier ein Muster erkennen. Du erinnerst dich hoffentlich daran. Wenn nicht, dann wiederhole bitte das Faktorisieren von Polynomen. Aber wenn du (x + a) (x + b) hast, ergibt das x² + (a + b) x + ab. Wenn du das ausmultiplizierst, würdest du das erhalten. Wenn wir aber (x² + a)(x² + b) hätten, anstatt dass das hier x² wäre, wäre es x⁴. Anstatt x, wäre das hier x², und das ist genau das Muster, das wir hier haben. So welche Werte für a und b haben wir, bei denen ich durch Addition 7 erhalten würde, und durch Multiplikation -18? Da ihr Produkt negativ ist, wissen wir, dass sie unterschiedliche Vorzeichen haben. Eine Zahl ist positiv, die andere negativ. Und da ihre Summe positiv ist, wissen wir, dass die größere der beiden Zahlen positiv ist. Mir fällt 9 ⋅ (-2) ein. Wenn du sie multiplizierst, erhältst du -18. Wenn du sie addierst, erhältst du 7. Wir können es also umschreiben als (x² + 9) (x² - 2). Ich könnte auch (x² + - 2) schreiben, das ist dasselbe wie (x² - 2). Und das ist genau das, was wir hier bekommen haben. Du hast natürlich das x hier vorne stehen, das ich hier nicht beachtet habe. Und das hier können wir, wie im vorherigen Video, als eine Differenz von Quadraten erkennen, und dann weiter faktorisieren, um die Nullstellen zu finden. Ich wollte dir aber nur zeigen, dass du es sowohl durch Umgruppierung, als auch durch traditionelle Faktorisierung lösen kannst. Diese 9 und diese -2 waren bereits getrennt, dadurch konnten wir sie durch Umgruppierung faktorisieren.