Konstruieren von Exponentialmodellen

Derek hat einen Kettenbrief an seine Freunde gesendet, in dem er bittet, diesen an weitere Freunde zu senden. Die Gruppe von Leuten, die die Email empfängt, nimmt alle 3 Wochen um 9/10 ihrer Größe zu, und wird von einer Funktion P dargestellt, die von der Zeit t (in Wochen) abhängig ist. Derek hat den Kettenbrief anfangs 40 Freunden geschickt. Erstelle eine Funktion, die die Gruppe von Leuten darstellt, die die Email t Wochen nach dem Zeitpunkt erhält, an dem Derek den Kettenbrief anfangs verschickt hat. Pausiere das Video und versuche, die Aufgabe zu lösen. Ich erstelle jetzt eine Tabelle mit den Werten t und unserer Funktion P, die eine Funktion von t ist. Wir nehmen zuerst Werte aus dem Beschreibungstext. Wenn t = 0 ist, wenn also 0 Wochen vergangen sind, seit Derek den Kettenbrief verschickt hat, wie viele Leute haben ihn dann bekommen? Derek hat den Kettenbrief ursprünglich an 40 Freunde geschickt. Wir haben also t = 0 und P(0) = 40. Was wäre jetzt ein interessanter Zeitpunkt? Hier steht, dass die Anzahl der Leute, die die Email erhalten, sich alle 3 Wochen um 9/10 erhöht. Wir schauen uns also an, was passiert, wenn 3 Wochen vergangen sind. Wir haben also t = 3. Welchen Wert hat P(t)? Wir wissen, dass er um 9/10 seiner Größe wächst. Wir haben also 40 + 9/10 ⋅ 40. Was ergibt das? Wir klammern die 40 aus, und erhalten 40(1 + 9/10) bzw. 40 ⋅ 1,9. Anders gesagt: Nach 3 Wochen haben wir ein Wachstum um 90%. Das ist eine andere Formulierung dafür, dass die Anzahl der Leute, die die Email erhalten haben, um 9/10 ihrer Größe angewachsen ist. Wir können sagen, dass die Gruppe der Leute, die die Email erhalten haben, alle 3 Wochen um 90% anwächst. Wenn weitere 3 Wochen vergehen, ich also nochmal 3 Wochen addiere, dann habe ich 6 Wochen. Wie viele Leute haben dann die Email bekommen? Wir hatten diese Zahl. Jetzt haben wir wieder ein Wachstum um 90%. Also multiplizieren wir wieder mit 1,9. Also rechnen wir 40 ⋅ 1,9 ⋅ 1,9. Wir wachsen nochmal um 9/10. Ein Wachstum um 9/10 ist dasselbe wie mit 1 und 9/10 zu multiplizieren. Die 1 ist das, was wir bereits haben. Und dann wachsen wir um weitere 9/10 an. Das ist also dasselbe wie 40 ⋅ 1,9². Weitere 3 Wochen vergehen, wir haben also 9 Wochen. Wir wachsen nochmal um 90% an. Wir nehmen also diese Zahl und multiplizieren sie nochmal mit 1,9, also haben wir 1,9³. Was passiert also hier drüben? Wir haben eine Exponentialfunktion. Wir haben unseren ursprünglichen Wert, und alle 3 Wochen multiplizieren wir mit 1,9. 1,9 wäre also unsere Basis. Wir könnten also sagen, dass P(t) = 40 (Anfangswert) ⋅ 1,9 (Basis) ist. Und wir multiplizieren alle 3 Wochen mit 1,9. Wir fragen uns also, wie viele 3-Wochen-Perioden seitdem vergangen sind. Wir nehmen t und dividieren es durch 3. t/3 ist die Anzahl der 3-Wochen-Perioden, die vergangen sind. Wenn t = 0 ist, dann haben wir 1,9^0, was 1 ergibt, und rechnen 40 ⋅ 1. Bei t = 3, haben wir 1,9^1, da wir 3/3 rechnen. Also haben wir jedes Mal ein Wachstum um 90%. Wir sind fertig.