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Eine Seitenlänge mit dem Kosinussatz berechnen

Video-Transkript

Wir haben hier ein Dreieck. Diese Seite hat die Länge b, b ist gleich 12. 12 Einheiten, egal welche Einheiten wir bei der Messung verwenden. Die Seite hier drüben hat die Länge c, Die Seite hier drüben hat die Länge c, c ist gleich 9. Nun wollen wir die Länge von dieser Seite, mit der Seitenlänge a, herausfinden. von dieser Seite, mit der Seitenlänge a, herausfinden. von dieser Seite, mit der Seitenlänge a, herausfinden. Mit diesen Angaben wird es uns nicht möglich sein a auszureichen, es sei denn, wir würden auch diesen Winkel hier kennen. Denn ohne diesen könnten wir die blaue und die grüne Seite auch näher zusammenbringen, dann würde a kleiner sein. Oder weiter auseinander, dann würde a größer sein. Wir müssen also den Winkel kennen, um auf a zu schließen. Also lass uns annehmen, dass wir diesen Winkel kennen. Wir nennen ihn Theta. Theta ist gleich 87 Grad. Wie können wir nun a bestimmen? Halte das Video einmal an und versuche es selber. Nun, zum Glück für uns gib es den Kosinussatz, mit dem man eine dritte Seite bestimmen kann, wenn wir zwei Seiten und der Winkel zwischen diesen kennen. Der Kosinussatz (im rechtwinkeligen Dreieck) besagt, dass a Quadrat ist gleich b Quadrat plus c Quadrat ist. Bei einem rechtwinkligen Dreieck wäre, wenn dieser Winkel 90 Grad wäre, a die Hypotenuse. Dann wären wir hier fertig. Das wäre der Satz des Pythagoras. Aber der Kosinussatz gibt uns eine Anpassung zum Satz des Pythagoras, so dass wir diesen auch in nicht rechtwinkeligen Dreiecken benutzen können. Der Kosinussatz sagt uns, dass a Quadrat gleich b Quadrat plus c zum Quadrat, minus zwei mal bc ist, minus zwei mal bc ist, mal dem Cosinus von Theta. Und Theta ist der Winkel, der sich zu der Seite öffnet die uns interessiert. Damit können wir Theta verwenden, da wir a suchen. Wenn wir einen anderen Winkel gegeben hätten, den hier, das wäre nicht der Winkel, den wir verwenden würden. Wir brauchen den Winkel, der sich zu der Seite öffnet die uns interesiert. Nun lösen wir nach a auf. denn wir kennen bc und Theta. So a Quadrat ist gleich b Quadrat--, b Quadrat ist gleich 144, plus c Quadrat, also plus 81, minus 2 mal b mal c. Also minus 2. Minus 2 mal 12 mal 9, mal dem Cosinus von 87 Grad. Und das ist gleich 225 minus 12 mal 9 ist 108. 108 mal 2 ist 216. Minus 216 mal dem Cosinus von 87 Grad. Dazu brauchen wir den Taschenrechner. Dazu brauchen wir den Taschenrechner. Denkt daran, das hier ist a zum Quadrat. Lass uns den Therm, bevor wir das mit dem Taschenrechner ausrechnen, für a aufstellen. Lass uns den Therm, bevor wir das mit dem Taschenrechner ausrechnen, für a aufstellen. Dazu müssen wir die Wurzel ziehen. a ist die Wurzel von all dem hier. Ich kopiere das einfach alles. Das ist gleich der Quadratwurzel von dem. Ich kopiere das einfach alles. a ist gleich der Quadratwurzel von 225 - 216 Cosinus 87. a ist gleich der Quadratwurzel von 225 - 216 Cosinus 87. Das können wir nun mit dem Taschenrechner ausrechen. Hier verlängere ich nochmal den Strich, damit wir auch die Wurzel des ganzen Ausdruck ziehen. Jetzt kommt der Taschenrechner. Ich möchte die Quadratwurzel von 225 finden. Vorher gucke ich nochmal ob wir uns im Grad-Modus befinden, Vorher gucke ich nochmal ob wir uns im Grad-Modus befinden, da wir hier eine trigonometrische Funktion in Grad lösen. Hier ist also alles richtig. 225 minus 216, mal Cosinus von 87 Grad. mal Cosinus von 87 Grad. mal Cosinus von 87 Grad. Und das sind 14,61, Und das sind 14,61, oder 14,618. Da wir auf das nächste Zehntel runden sollen, um eine Annäherung zu bekommen, wären dies 14,6. a ist also gleich 14,6, unabhängig von der Maßeinheit. a ist also gleich 14,6, unabhängig von der Maßeinheit.