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Einen Winkel mit dem Kosinussatz berechnen

Video-Transkript

Wir betrachten hier so etwas wie einen Hügel oder eine kleine Felsenformation hier. Wir betrachten hier soetwas wie einen Hügel oder eine kleine Felsenformation hier. Wir betrachten hier soetwas wie einen Hügel oder eine kleine Felsenformation hier. Wir müssen deren Dimensionen quantifizieren. Wir wissen, dass es von diesem zu diesem Punkt eine Distanz von 60 Meter sind. Wir wissen, dass es von diesem zu diesem Punkt eine Distanz von 60 Meter sind. Wir wissen, dass es von diesem zu diesem Punkt eine Distanz von 60 Meter sind. Diese steilere Seite bzw. Oberfläche oder Klippe ist 20 Meter lang. Diese steilere Seite bzw. Oberfläche oder Klippe ist 20 Meter lang. Diese steilere Seite bzw. Oberfläche oder Klippe ist 20 Meter lang. Diese steilere Seite bzw. Oberfläche oder Klippe ist 20 Meter lang. Und diese längere, flachere Seite ist 50 Meter lang. Und diese längere, flachere Seite ist 50 Meter lang. Wir können dies also messen. Nun wollen wir aber unsere Trigonometriekenntnisse anwenden, zusammen mit den gegebenen Infos, Nun wollen wir aber unsere Trigonometriekenntnisse anwenden, zusammen mit den gegebenen Infos, Nun wollen wir aber unsere Trigonometriekenntnisse anwenden, zusammen mit den gegebenen Infos, um zu ermitteln, wie steil diese Seite ist. Wie groß ist die Neigung relativ zum Boden? Wie groß ist die Neigung relativ zum Boden? Oder anders ausgedrückt: Wie groß ist der Winkel Theta hier drüben? Oder anders ausgedrückt: Wie groß ist der Winkel Theta hier drüben? Bitte pausiert hierzu das Video und versucht es zunächst selbst. Bitte pausiert hierzu das Video und versucht es zunächst selbst. Vielleicht klingelt da etwas bei euch. Nun, wir kennen die drei Seiten des Dreiecks und möchten einen Winkel herausfinden. Nun, wir kennen die drei Seiten des Dreiecks und möchten einen Winkel herausfinden. Was uns hier ins Gedächtnis springt, ist das Gesetz vom Kosinus, welches hier nützlich wäre. Was uns hier ins Gedächtnis springt, ist das Gesetz vom Kosinus, welches hier nützlich wäre. Schreiben wir das Gesetz des Kosinus zunächst nieder, bevor wir versuchen, es hier anzuwenden. Schreiben wir das Gesetz des Kosinus zunächst nieder, bevor wir versuchen, es hier anzuwenden. Schreiben wir das Gesetz des Kosinus zunächst nieder, bevor wir versuchen, es hier anzuwenden. Das Gesetz des Kosinus sagt uns, dass c² gleich a² plus b² minus 2ab mal dem Kosinus von Theta ist. Das Gesetz des Kosinus sagt uns, dass c² gleich a² plus b² minus 2ab mal dem Kosinus von Theta ist. Das Gesetz des Kosinus sagt uns, dass c² gleich a² plus b² minus 2ab mal dem Kosinus von Theta ist. Das Gesetz des Kosinus sagt uns, dass c² gleich a² plus b² minus 2ab mal dem Kosinus von Theta ist. Nur um uns erinnern, was die a´s, b´s und c´s sind: Nur um uns erinnern, was die a´s, b´s und c´s sind: c ist die Seite gegenüber des Winkels Theta. Bei einem willkürlich gezeichneten Dreieck also mit dem Winkel Theta hier wäre das hier die Seite c. Bei einem willkürlich gezeichneten Dreieck also mit dem Winkel Theta hier wäre das hier die Seite c. Bei einem willkürlich gezeichneten Dreieck also mit dem Winkel Theta hier wäre das hier die Seite c. Bei einem willkürlich gezeichneten Dreieck also mit dem Winkel Theta hier wäre das hier die Seite c. a und b können dann entweder diese oder diese Seite sein. a und b können dann entweder diese oder diese Seite sein. a und b können dann entweder diese oder diese Seite sein. a und b können dann entweder diese oder diese Seite sein. Wie man sieht, haben a und b in dieser Formel dieselbe Rolle inne. Wie man sieht, haben a und b in dieser Formel dieselbe Rolle inne. Wie man sieht, haben a und b in dieser Formel dieselbe Rolle inne. Das hier könnte b oder a sein. Wir wollen hier also herausfinden, was Theta in unserem speziellen Hügelbeispiel ist. Wir wollen hier also herausfinden, was Theta in unserem speziellen Hügelbeispiel ist. Wir wollen hier also herausfinden, was Theta in unserem speziellen Hügelbeispiel ist. Wir wollen hier also herausfinden, was Theta in unserem speziellen Hügelbeispiel ist. Wenn das hier also Theta ist, was ist dann c? Wenn das hier also Theta ist, was ist dann c? Nun, c wäre diese 20 Meter-Seite. Dann können wir eine dieser Seiten als a oder b annehmen. Dann können wir eine dieser Seiten als a oder b annehmen. Wir können sagen, dass a gleich 50 Meter und b gleich 60 Meter ist. Wir können sagen, dass a gleich 50 Meter und b gleich 60 Meter ist. Jetzt können wir einfach das Gesetz des Kosinus anwenden. Dieses lautet also wie folgt: 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. 20² ist gleich a² also gleich 50², plus b², also plus 60², minus 2 mal ab, also 2 mal 50 mal 60 mal dem Kosinus von Theta. Das geht sehr gut, da wir alle nötigen Angaben haben. Das geht sehr gut, da wir alle nötigen Angaben haben. Es gibt also nur einen wirklichen Unbekannten hier, das Theta. Es gibt also nur einen wirklichen Unbekannten hier, das Theta. Lösen wir also nach Theta auf. 20² sind 400. 50² sind 2.500. 60² sind 3.600. Und dann 50 mal... ...2 mal 50 sind 100, mal 60, das sind also insgesamt 6.000. Vereinfachen wir weiter: Vereinfachen wir weiter: 400 ist gleich 2.500 plus 3.600. Das wären 6.100. Das ist gleich 6.000... Neue Farbe... Beim Addieren dieser beiden erhalte ich also 6.100. Was das richtig? Ja. Also 2.000 plus 3.000 plus 5.000. 500 plus 600 ist 1.100. Ich erhalte also 6.100 minus 6.000, mal dem Kosinus von Theta. Ich erhalte also 6.100 minus 6.000, mal dem Kosinus von Theta. Mal sehen, nun können wir von beiden Seiten 6.100 subtrahieren. Mal sehen, nun können wir von beiden Seiten 6.100 subtrahieren. Ich subtrahiere also einfach 6.100 von beiden Seiten, sodass ich Theta besser isolieren kann. Ich subtrahiere also einfach 6.100 von beiden Seiten, sodass ich Theta besser isolieren kann. Also... Das ist gleich -5.700, richtig? Das ist gleich -5.700, richtig? 5.700 plus... Ja, das stimmt. Richtig, da wir beim umgekehrten Fall bei 6.100 minus 4.000 also 5.700 erhielten. Richtig, da wir beim umgekehrten Fall bei 6.100 minus 4.000, also 5.700 erhielten. Richtig, da wir beim umgekehrten Fall bei 6.100 minus 4.000, also 5.700 erhielten. Gut. Diese beiden fallen natürlich weg. Und das ist dann gleich -6.000 mal dem Kosinus von Theta. Und das ist dann gleich -6.000 mal dem Kosinus von Theta. Nun können wir beide Seiten durch -6.000 dividieren. Und erhalten... Ich tausche nur die Seiten. Wir erhalten den Kosinus von Theta gleich... Dividieren wir doch den Zähler und den Nenner einfach durch -100. Dividieren wir doch den Zähler und den Nenner einfach durch -100. Diese beiden werden dann positiv. Der Kosinus von Theta ist gleich 57/60. Das können wir noch weiter vereinfachen. 3 passt in 57, sind das 19? Ja, also ist das hier... Das könnte vereinfacht werden. Das ist gleich 19/20. Dieser Schritt ist beim Vereinfachen nicht zwingend notwendig, da wir den Taschenrechner haben, Dieser Schritt ist beim Vereinfachen nicht zwingend notwendig, da wir den Taschenrechner haben, aber das macht die Mathematik wenig einfacher. Also, 3 passt in 57, also 19 mal. Nun nehmen wir den Arcus Kosinus von beiden Seiten. Nun nehmen wir den Arcus Kosinus von beiden Seiten. Wir erhalten für Theta also Arcus Kosinus von 19/20. Wir erhalten für Theta also Arcus Kosinus von 19/20. Holen wir dazu unseren Taschenrechner raus uns sehen, ob wir ein vernünftiges Ergebnis erhalten. Holen wir dazu unseren Taschenrechner raus uns sehen, ob wir ein vernünftiges Ergebnis erhalten. Wir wollen also den Arcus Kosinus von 19/20. Das verdient Trommelwirbel... Wir erhalten 18,19 °. Mein Taschenrechner ist im Grad-Modus. Mein Taschenrechner ist im Grad-Modus. Also kriegen wir 18,19 °. Gerundet wären das 18,2 °. Gerundet wären das 18,2 °. Gerundet wären das 18,2 °. Jetzt haben wir eine Vorstellung davon, wie steil diese Steigung wirklich ist. Jetzt haben wir eine Vorstellung davon, wie steil diese Steigung wirklich ist.