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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lerneinheit 3: Lektion 4

Varianz und Standardabweichung einer Grundgesamtheit
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Quantitative Daten zusammenfassen
Varianz und Standardabweichung einer Grundgesamtheit
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Standardabweichungen Schritt für Schritt berechnen

Google Classroom

Einführung

In diesem Artikel lernen wir die Standardabweichung "per Hand" zu berechnen.
Interessanterweise würde in der echten Welt kein Statistiker jemals die Standardabweichung per Hand berechnen. Die Berechnungen dazu sind etwas komplex und das Risiko, dabei einen Fehler zu machen, ist hoch. Außerdem ist das Berechnen per Hand langsam - sehr langsam. Deshalb verlassen sich Statistiker auf Kalkulationstabellen und Computerprogramme, um ihre Daten zu verarbeiten.
Warum also dieser Artikel? Warum machen wir uns die Mühe einen Prozess zu lernen, den die Statistiker nicht mal wirklich benutzen? Die Antwort darauf ist, dass wir die Funktionsweise der Standardabweichung am besten verstehen, wenn wir zuerst lernen, sie per Hand zu berechnen. Dieser Einblick ist wertvoll. Anstatt die Standardabweichung als eine magische Zahl zu sehen, die uns unsere Kalkulationstabelle oder Computerprogramm gegeben hat, sind wir in der Lage zu erklären woher die Zahl kommt.

Überblick über die Berechnung der Standardabweichung

Die Formel für die Standardabweichung (SD) lautet
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
wobei sum die "Summe von" ist, x ein Wert in den Daten, mu das arithmetische Mittel der Daten, und N die Anzahl an Datenpunkten insgesamt ist.
Die Formel für die Standardabweichung wirkt auf den ersten Blick etwas verwirrend, aber sie wird Sinn ergeben, wenn wir sie aufschlüsseln. In den kommenden Abschnitten werden wir Schritt für Schritt durch ein interaktives Beispiel gehen. Hier ist ein kurzer Überblick über die Schritte, die wir durchführen werden:
Erster Schritt Finde den Durchschnitt.
Zweiter Schritt: Finde das Quadrat vom Abstand jedes Datenpunktes zum arithmetischen Mittel.
Dritter Schritt: Summiere die Werte aus Schritt 2 auf.
Vierter Schritt: Dividiere durch die Anzahl an Datenpunkten.
Fünfter Schritt: Ziehe die Quadratwurzel davon.

Ein wichtiger Hinweis

Mittels der obigen Formel kannst du die Standardabweichung einer Grundgesamtheit berechnen. Wenn dir nur eine Stichprobe vorliegt, musst du eine leicht andere Formeln nutzen (siehe unten), die n, minus, 1 anstatt N nutzt. In diesem Artikel geht es aber darum, dir die Berechnung der Standardabweichung näher zu bringen, die im Grunde bei beiden Formeln gleich ist.
start text, S, D, end text, start subscript, start text, s, a, m, p, l, e, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Ein interaktives Beispiel zum Berechnen der Standardabweichung - Schritt für Schritt

Als erstes brauchen wir eine Datenmenge, auf der wir arbeiten können. Lass uns eine kleine Menge wählen, damit wir nicht überwältigt werden von der Anzahl an Datenpunkten. Hier ist eine gute:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Schritt 1: Bestimme das start color #e07d10, mu, end color #e07d10 in square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

In diesem Schritt bestimmen wir das arithmetische Mittel des Datensatzes, das durch die Variable mu repräsentiert wird.
Füll die Lücke.
mu, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Schritt 2: Bestimme das start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 in square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

In diesem Schritt finden wir den Abstand von jedem Datenpunkt zum Durchschnitt (d.h. die Differenz) und quadrieren diese Abstände.
Zum Beispiel ist der erste Datenpunkt 6 und der Durchschnitt ist 3, also ist der Abstand zwischen ihnen 3. Dieser Abstand ins Quadrat ergibt 9.
Vervollständige die Tabelle.
Wert xQuadrierter Abstand vom arithmetischen Mittel open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
3
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
1
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Schritt 3: Bestimme das start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 in square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Das Symbol sum bedeutet "Summe", deshalb summieren in diesem Schritt die vier Werte aus Schritt 2 auf.
Fülle die Lücke.
sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Schritt 4: Bestimme das start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 in square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

In diesem Schritt teilen wir das Ergebnis aus dem dritten Schritt durch die Variable N, welche die Anzahl der Datenpunkte repräsentiert.
Fülle die Lücke.
start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Schritt 5: Ermittle die Standardabweichung square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Wir sind schon fast fertig! Jetzt zieh nur noch die Wurzel aus dem Ergebnis von Schritt 4 und wir sind fertig.
Fülle die Lücke aus.
Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Juhu! Wir haben es geschafft! Wir haben erfolgreich die Standardabweichung einer kleinen Datenmenge berechnet.

Zusammenfassung was wir gemacht haben

Wir haben die Formel in fünf Schritte aufgeteilt:
Schritt 1: Ermittle das arithmetische Mittel mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
Zweiter Schritt: Bestimme das Quadrat vom Abstand jedes Datenpunktes zum arithmetischen Mittel open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
xopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Schritte 3, 4, und 5:
SD=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Addiere das Quadrat der Absta¨nde (Schritt 3).=3,5        Teile durch die Anzahl an Datenpunkten (Schritt 4).≈1,87        Ziehe die Wurzel (Schritt 5).\begin{aligned} \text{SD} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu \rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Addiere das Quadrat der Abstände (Schritt 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{Teile durch die Anzahl an Datenpunkten (Schritt 4).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{Ziehe die Wurzel (Schritt 5).} \end{aligned}

Probiere es selbst aus

Hier ist eine Erinnerung an die Formel
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Und hier ist ein Datensatz:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Finde die Standardabweichung von der Datenmenge.
Runde dein Ergebnis auf das nächste Hundertstel.
start text, S, D, end text, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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