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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lerneinheit 3: Lektion 4
Varianz und Standardabweichung einer GrundgesamtheitStandardabweichungen Schritt für Schritt berechnen
Einführung
In diesem Artikel lernen wir die Standardabweichung "per Hand" zu berechnen.
Interessanterweise würde in der echten Welt kein Statistiker jemals die Standardabweichung per Hand berechnen. Die Berechnungen dazu sind etwas komplex und das Risiko, dabei einen Fehler zu machen, ist hoch. Außerdem ist das Berechnen per Hand langsam - sehr langsam. Deshalb verlassen sich Statistiker auf Kalkulationstabellen und Computerprogramme, um ihre Daten zu verarbeiten.
Warum also dieser Artikel? Warum machen wir uns die Mühe einen Prozess zu lernen, den die Statistiker nicht mal wirklich benutzen? Die Antwort darauf ist, dass wir die Funktionsweise der Standardabweichung am besten verstehen, wenn wir zuerst lernen, sie per Hand zu berechnen. Dieser Einblick ist wertvoll. Anstatt die Standardabweichung als eine magische Zahl zu sehen, die uns unsere Kalkulationstabelle oder Computerprogramm gegeben hat, sind wir in der Lage zu erklären woher die Zahl kommt.
Überblick über die Berechnung der Standardabweichung
Die Formel für die Standardabweichung (SD) lautet
wobei sum die "Summe von" ist, x ein Wert in den Daten, mu das arithmetische Mittel der Daten, und N die Anzahl an Datenpunkten insgesamt ist.
Die Formel für die Standardabweichung wirkt auf den ersten Blick etwas verwirrend, aber sie wird Sinn ergeben, wenn wir sie aufschlüsseln. In den kommenden Abschnitten werden wir Schritt für Schritt durch ein interaktives Beispiel gehen. Hier ist ein kurzer Überblick über die Schritte, die wir durchführen werden:
Erster Schritt Finde den Durchschnitt.
Zweiter Schritt: Finde das Quadrat vom Abstand jedes Datenpunktes zum arithmetischen Mittel.
Dritter Schritt: Summiere die Werte aus Schritt 2 auf.
Vierter Schritt: Dividiere durch die Anzahl an Datenpunkten.
Fünfter Schritt: Ziehe die Quadratwurzel davon.
Ein wichtiger Hinweis
Mittels der obigen Formel kannst du die Standardabweichung einer Grundgesamtheit berechnen. Wenn dir nur eine Stichprobe vorliegt, musst du eine leicht andere Formeln nutzen (siehe unten), die n, minus, 1 anstatt N nutzt. In diesem Artikel geht es aber darum, dir die Berechnung der Standardabweichung näher zu bringen, die im Grunde bei beiden Formeln gleich ist.
Ein interaktives Beispiel zum Berechnen der Standardabweichung - Schritt für Schritt
Als erstes brauchen wir eine Datenmenge, auf der wir arbeiten können. Lass uns eine kleine Menge wählen, damit wir nicht überwältigt werden von der Anzahl an Datenpunkten. Hier ist eine gute:
Schritt 1: Bestimme das start color #e07d10, mu, end color #e07d10 in square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
In diesem Schritt bestimmen wir das arithmetische Mittel des Datensatzes, das durch die Variable mu repräsentiert wird.
Schritt 2: Bestimme das start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 in square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
In diesem Schritt finden wir den Abstand von jedem Datenpunkt zum Durchschnitt (d.h. die Differenz) und quadrieren diese Abstände.
Zum Beispiel ist der erste Datenpunkt 6 und der Durchschnitt ist 3, also ist der Abstand zwischen ihnen 3. Dieser Abstand ins Quadrat ergibt 9.
Schritt 3: Bestimme das start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 in square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
Das Symbol sum bedeutet "Summe", deshalb summieren in diesem Schritt die vier Werte aus Schritt 2 auf.
Schritt 4: Bestimme das start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 in square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root
In diesem Schritt teilen wir das Ergebnis aus dem dritten Schritt durch die Variable N, welche die Anzahl der Datenpunkte repräsentiert.
Schritt 5: Ermittle die Standardabweichung square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Wir sind schon fast fertig! Jetzt zieh nur noch die Wurzel aus dem Ergebnis von Schritt 4 und wir sind fertig.
Juhu! Wir haben es geschafft! Wir haben erfolgreich die Standardabweichung einer kleinen Datenmenge berechnet.
Zusammenfassung was wir gemacht haben
Wir haben die Formel in fünf Schritte aufgeteilt:
Schritt 1: Ermittle das arithmetische Mittel mu.
Zweiter Schritt: Bestimme das Quadrat vom Abstand jedes Datenpunktes zum arithmetischen Mittel open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
x | open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared | |
---|---|---|
6 | open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9 | |
2 | open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1 | |
3 | open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0 | |
1 | open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4 |
Schritte 3, 4, und 5:
Probiere es selbst aus
Hier ist eine Erinnerung an die Formel
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