If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Analysis - Vorkenntnisse

Kurs: Analysis - Vorkenntnisse > Lerneinheit 5

Lesson 5: Multiplikation komplexer Zahlen
Mathematik
Analysis - Vorkenntnisse
Imaginäre und komplexe Zahlen
Multiplikation komplexer Zahlen
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung

Multiplikation komplexer Zahlen

Google Classroom
Lerne zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren. Multipliziere zum Beispiel (1+2i)⋅(3+i).
A komplexe Zahl ist eine beliebige Zahl, die als start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i geschrieben werden kann, wobei i die imaginäre Einheit ist und start color #1fab54, a, end color #1fab54 und start color #11accd, b, end color #11accd reelle Zahlen sind.
Wenn wir komplexe Zahlen multiplizieren, ist es nützlich sich zu erinnern, dass die Eigenschaften, die beim Rechnen mir reellen Zahlen verwenden, ähnlich für komplexe Zahlen funktionieren.
Manchmal ist es hilfreich, i als Variable wie x zu interpretieren. Dann können wir mit wenigen Anpassungen am Ende genauso wir erwartet multiplizieren. Lass uns dies genauer betrachten, indem wir einige Beispiele durchgehen.

Multipliziere eine reelle Zahl mit einer komplexen Zahl

Beispiel

Multipliziere minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Schreibe die resultierende Zahl der Form a, plus, b, i.

Lösung

Wenn dein Instinkt dir sagt, die minus, 4 zu verteilen, wäre deine Instinkt richtig! Lass uns das machen!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
Und damit sind wir fertig! Wir verwenden das Distributivgesetz um eine reelle Zahl mit einer komplexen Zahl zu multiplizieren. Versuchen wir etwas, was ein bisschen komplizierter ist.

Multipliziere eine rein imaginäre Zahl mit einer komplexen Zahl

Beispiel

Multipliziere 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Schreibe die resultierende Zahl der Form a, plus, b, i.

Lösung

Beginnen wir wieder mit der Verteilung von 2, i zu jedem Term in Klammern.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
Bislang ist die Antwort noch nicht in der Form a, plus, b, i, weil es i, squared enthält.
Wir wissen das start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Durch ersetzen werden wir sehen, wohin das führt.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Durch Anwenden des Kommutativgesetzes können wir die Antwort als 16, plus, 6, i schreiben und folglich erhalten wir 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Multipliziere 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Aufgabe 2

Multipliziere minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Ausgezeichnet! Wir sind jetzt bereit das Thema weiter zu vertiefen! Nun folgt der typischere Fall, den du sehen wirst, wenn du gefragt wirst, komplexe Zahlen zu multiplizieren.

Multipliziere zwei komplexen Zahlen

Beispiel

Multipliziere left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Schreibe die resultierende Zahl der Form a, plus, b, i.

Lösung

In diesem Beispiel kamm es hilfreich sein i als eine Variable zu betrachten.
Tatsächlich ist der Prozess der Multiplikation dieser zwei komplexen Zahlen sehr ähnlich wie zwei Binome zu multiplizieren! Multipliziere jeden Term der ersten Zahl mit jedem Term der zweiten Zahl.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Weil start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10 ist, können wir i, squared durch minus, 1 ersetzen um die gewünschte Form a, plus, b, i zu erhalten.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 3

Multipliziere left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Aufgabe 4

Multipliziere left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Aufgabe 5

Multipliziere left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Aufgabe 6

Multipliziere left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Schreibe deine Antwort in Form von a, plus, b, i.

Herausfordernde Aufgaben

Aufgabe 1

Angenommen a und b sind reelle Zahlen. Was ist left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Aufgabe 2

Führe die angegebenen Operationen aus und vereinfache. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Schreibe deine Antwort in der Form a, plus, b, i.

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden
  • blobby green style-Avatar für Benutzer Keziban Ebren
    Gepostet vor 4 Jahren. Direkter Link zu Keziban Ebren's Post “Hallo, gibt es Übungen zu...”
    Hallo, gibt es Übungen zu den Körperhomomorphismen auf Khan Academy? Ich habe leider keine gefunden? Oder Allgemein zu dem Körper Informationen wie zum Beispiel angeordneter Körper?
    (1 Bewertung)
    Default Khan Academy avatar-Avatar für Benutzer
Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.