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Kurs: Analysis - Vorkenntnisse > Lerneinheit 5

Lektion 5: Multiplikation komplexer Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

Lerne zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren. Multipliziere zum Beispiel (1+2i)⋅(3+i).

A komplexe Zahl ist eine beliebige Zahl, die als

a + b i

geschrieben werden kann, wobei

i

die imaginäre Einheit ist und

a

und

b

reelle Zahlen sind.

Wenn wir komplexe Zahlen multiplizieren, ist es nützlich sich zu erinnern, dass die Eigenschaften, die beim Rechnen mir reellen Zahlen verwenden, ähnlich für komplexe Zahlen funktionieren.

Manchmal ist es hilfreich,

i

als Variable wie

x

zu interpretieren. Dann können wir mit wenigen Anpassungen am Ende genauso wir erwartet multiplizieren. Lass uns dies genauer betrachten, indem wir einige Beispiele durchgehen.

Multipliziere eine reelle Zahl mit einer komplexen Zahl

Beispiel

Multipliziere

- 4 (13 + 5 i)

. Schreibe die resultierende Zahl der Form

a + b i

Lösung

Wenn dein Instinkt dir sagt, die

- 4

zu verteilen, wäre deine Instinkt richtig! Lass uns das machen!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

Und damit sind wir fertig! Wir verwenden das Distributivgesetz um eine reelle Zahl mit einer komplexen Zahl zu multiplizieren. Versuchen wir etwas, was ein bisschen komplizierter ist.

Multipliziere eine rein imaginäre Zahl mit einer komplexen Zahl

Beispiel

Multipliziere

2 i (3 - 8 i)

. Schreibe die resultierende Zahl der Form

a + b i

Lösung

Beginnen wir wieder mit der Verteilung von

2 i

zu jedem Term in Klammern.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

Bislang ist die Antwort noch nicht in der Form

a + b i

, weil es

i^{2}

enthält.

Wir wissen das

i^{2} = - 1

. Durch ersetzen werden wir sehen, wohin das führt.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Durch Anwenden des Kommutativgesetzes können wir die Antwort als

16 + 6 i

schreiben und folglich erhalten wir

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Multipliziere $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Aufgabe 2

Multipliziere $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Ausgezeichnet! Wir sind jetzt bereit das Thema weiter zu vertiefen! Nun folgt der typischere Fall, den du sehen wirst, wenn du gefragt wirst, komplexe Zahlen zu multiplizieren.

Multipliziere zwei komplexen Zahlen

Beispiel

Multipliziere

(1 + 4 i) (5 + i)

. Schreibe die resultierende Zahl der Form

a + b i

Lösung

In diesem Beispiel kamm es hilfreich sein

i

als eine Variable zu betrachten.

Tatsächlich ist der Prozess der Multiplikation dieser zwei komplexen Zahlen sehr ähnlich wie zwei Binome zu multiplizieren! Multipliziere jeden Term der ersten Zahl mit jedem Term der zweiten Zahl.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

Weil

i^{2} = - 1

ist, können wir

i^{2}

durch

- 1

ersetzen um die gewünschte Form

a + b i

zu erhalten.

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 3

Multipliziere $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Aufgabe 4

Multipliziere $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Aufgabe 5

Multipliziere $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Aufgabe 6

Multipliziere $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Schreibe deine Antwort in Form von $a + b i$ ‍.

Herausfordernde Aufgaben

Aufgabe 1

Angenommen $a$ ‍ und $b$ ‍ sind reelle Zahlen. Was ist $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

Aufgabe 2

Führe die angegebenen Operationen aus und vereinfache. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Schreibe deine Antwort in der Form $a + b i$ ‍.

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Keziban Ebren
Gepostet vor 5 Jahren. Direkter Link zu Keziban Ebren's Post “Hallo, gibt es Übungen zu...”
Hallo, gibt es Übungen zu den Körperhomomorphismen auf Khan Academy? Ich habe leider keine gefunden? Oder Allgemein zu dem Körper Informationen wie zum Beispiel angeordneter Körper?
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