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Kurs: Algebra - Vorkenntnisse > Lerneinheit 1

Lektion 1: Teiler und Vielfache
Mathematik
Algebra - Vorkenntnisse
Teiler und Vielfache
Teiler und Vielfache
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Teiler und Vielfache

Google Classroom
Lerne, was Teiler und Vielfache sind und was sie miteinander zu tun haben.

Teiler

Teiler sind ganze Zahlen, durch die eine andere Zahl geteilt werden kann.

Teiler bildlich darstellen

Teiler ermöglichen uns eine Zahl in kleinere Stücke zu zerlegen. Wir können die Punkte in gleich große Gruppen einteilen um zu helfen die Teiler von 12 bildlich darzustellen.
12 Punkte können in 1 Reihe mit 12 Punkten angeordnet werden.
1⋅12=12
Eine Matrix aus 12 Kreisen, die in 1 Reihe mit 12 Kreisen angeordnet sind.
12 Punkte können auch in 2 Reihen mit 6 Punkten pro Reihe angeordnet werden.
2⋅6=12
Eine Matrix von 12 Kreisen, angeordnet in 2 Reihen mit jeweils 6 Kreisen.
Oder wir können 12 Punkte in 3 Reihen mit 4 Punkten in jeder Reihe anordnen.
3⋅4=12
Eine Matrix aus 12 Kreisen, die in 3 Reihen mit jeweils 4 Kreisen angeordnet sind.
Sobald wir alle Möglichkeiten wie 12 Punkte angeordnet werden können herausgefunden haben, können wir uns die Anzahl der Reihen und die Anzahl der Punkte in jeder Reihe anschauen, um die Teiler von 12 zu erhalten.
1, 12, 2, 6, 3, and 4 sind alle Faktoren von 12.
Wir können 12 mit einer Reihe von 5 und einer Reihe von 7 darstellen. Also sind 5 und 7 Teiler von 12?
Eine Matrix mit 12 Kreisen, angeordnet in 1 Reihe mit 5 Kreisen und 1 Reihe mit 7 Kreisen.
Nein, 5 und 7 sind keine Teiler, weil die Punkte nicht in gleich große Gruppen geteilt werden können.
Welche der folgenden Anordnungen sind möglich für 18 Punkte?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Was sind also die Teiler von 18?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Teiler ohne Bilder ermitteln

Wir können die Teiler von 16 ohne Zeichnen der Punkte herausfinden indem wir über die Zahlen nachdenken, durch die 16 ohne Rest geteilt werden kann.
1 ist ein Teiler von 16, weil 16 durch 1 ohne Rest geteilt werden kann.
16:1=16
Der Quotient, der 16 ist, ist auch ein Teiler von 16.
2 ist ein Teiler von 16, weil 16 ohne Rest durch 2 geteilt werden kann.
16:2=8
Der Quotient, der 8 ist, ist auch ein Teiler von 16.
4 ist ein Teiler von 16, weil 16 ohne Rest durch 4 geteilt werden kann.
16:4=4
In diesem Fall ist der Quotient 4, welcher, was wir bereits entdeckt haben, ein Teiler von 16 ist.
Die Teiler von 16 sind 1,16, 2,8 und 4.
Zahlen wie 3 und 5 sind keine Teiler von 16 weil sie 16 nicht ohne Rest teilen können.
Benutze die Division um zu bestimmen, welcher der folgenden Zahlen Faktoren von 35 sind.
Teiler
Kein Teiler
1
2
3
5
7
35

Hinweise zu Teilern

Jede Zahl hat 1 als Teiler.
1 ist ein Teiler von 10.
1 ist ein Teiler von 364.
1 ist ein Teiler von 5787.
Jede Zahl hat sich selbst als Teiler.
41 ist ein Teiler von 41.
128 ist ein Teiler von 128.
4379 ist ein Teiler von 4379.

Teilerpaare

Zwei Zahlen, die wir miteinander multiplizieren um ein bestimmtes Produkt zu erhalten, nennen wir Teilerpaare. Um das Produkt 8 zu erhalten, können wir 1 ⋅ 8 multiplizieren und 2 ⋅ 4. Also sind die Teilerpaare für 8 gleich 1 und 8 und 2 und 4.
Das Anordnen von Punkten in gleich großen Gruppen hilft uns zu sehen, dass Teiler immer in Paaren auftreten. Ein Teiler in dem Teilerpaar stellt die Anzahl der Reihen dar. Der andere Teiler in dem Teilerpaar stellt die Anzahl der Punkte in jeder Reihe dar.
Eine Matrix aus 8 Kreisen, die in 1 Reihe mit 8 Kreisen angeordnet sind.
Eine Matrix von 8 Kreisen, angeordnet in 2 Reihen mit jeweils 4 Kreisen.
Wir wollen die Teilerpaare für 20 herausfinden. Erinnere dich daran, dass wir zwei ganze Zahlen suchen, die wir miteinander multiplizieren können, um 20 zu erhalten.
Wir beginnen mit 1, weil wir wissen, dass 1 ein Teiler jeder Zahl ist. Wir multiplizieren 1⋅20, um 20 zu erhalten, also ist 20 auch ein Teiler. Wir können diese Teiler als Außengrenzen einer Liste aufführen und in Mitte Platz lassen für weitere Teiler.
120
Nun können wir prüfen, ob die nächste Zahl beim Zählen, 2, ein Teiler ist.
Gibt es eine ganze Zahl, die wir mit 2 multiplizieren können, um 20 zu erhalten? Ja. 2⋅10=20. Also sind 2 und 10 ein weiteres Teilerpaar.
121020
Die nächste Zahl beim Zählen ist 3. Gibt es eine ganze Zahl, die wir mit 3 multiplizieren können um 20 zu erhalten? Nein. Also ist 3 kein Teiler von 20.
Können wir 4 mit einer ganzen Zahl multiplizieren um 20 zu erhalten? Ja. 4⋅5=20. Also sind 4 und 5 Teilerpaare.
12451020
Die nächste Zahl beim Zählen ist 5. Da 5 bereits auf der Liste erscheint, haben wir nun alle Teilerpaare für 20 gefunden.
Ordne die Teilerpaare dem Wert 40 zu.
1

Vielfache

Vielfache sind Zahlen, die das Ergebnis sind, wenn wir eine ganze Zahl mit einer anderen ganzen Zahl multiplizieren. Die ersten vier Vielfachen von 3 sind 3,6,9 und 12, weil:
3⋅1=3
3⋅2=6
3⋅3=9
3⋅4=12
Ein paar andere Vielfache von 3 sind 15,30 und 300.
3⋅5=15
3⋅10=30
3⋅100=300
Wir können niemals alle Vielfache einer Zahl auflisten. In unserem Beispiel könnte 3 mit einer unendlich großen Anzahl von Zahlen multipliziert werden um neue Vielfache herauszufinden.

Übungsaufgaben

Das erste Vielfache einer beliebigen Zahl ist die Zahl selbst.
7⋅1=7.
Was sind die nächsten zwei Vielfachen von 7?
7⋅2=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

7⋅3=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Die Liste zeigt Vielfache von 4.
4,8,12,16,…
Was ist das nächste Vielfache von 4?
Wähle eine Lösung.

Die Liste zeigt Vielfache von 8.
Trage die fehlenden Vielfachen ein.
8,16,
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
, 32,40,48,
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
...

Welche der folgenden Zahlen sind Vielfache von 6?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Vielfache bildlich darstellen

Die folgende Grafik zeigt Vielfache von 4.
4⋅1=4
Eine Matrix von 4 Marienkäfer, die in 1 Reihe von 4 Marienkäfern angeordnet sind.
4⋅2=8
Eine Matrix aus 8 Marienkäfern, die in 2 Reihen mit je 4 Marienkäfern angeordnet sind.
4⋅3=12
Eine Matrix aus 12 Marienkäfern, die in 3 Reihen mit je 4 Marienkäfern angeordnet sind.
Die nächste Box enthält Vielfache von 4.
Wie viele Marienkäfer sind in der nächsten Schachtel?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Marienkäfer

Welche Beziehung steht zwischen Teilern und Vielfachen?

4 und 7 sind beides Teiler von 28, weil 28 durch beide teilbar ist.
28 ist ein Vielfaches von 4, und ist auch ein Vielfaches von 7.
Benutze die Zahlen 32 und 4 um die folgenden Sätze zu vervollständigen.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
ist ein Teiler von
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
ist ein Vielfaches von
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
.

Übung mit Teilern und Vielfachen

Welche der folgenden sind Teiler von 10?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Welche der folgenden sind Vielfache von 10?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Wir wissen, dass 9⋅6=54
Welcher der folgenden Aussagen sind also wahr?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Teiler und Vielfache Challenge

Teiler und Vielfache werden benutzt, wenn wir Aufgaben über Seitenlängen und Flächen von Rechtecken lösen.
Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 50 Quadratzentimeter.
Welche der folgenden könnten die Seitenlängen des Rechtecks sein?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Mr. Trimble legt 36 Schokostückchen-Cookies für seine Schüler in seinem Kunstverein aus.
Wenn er die Cookies in 3 Reihen anordnet, sind es
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Cookies in jeder Reihe.
Wenn er die Cookies in
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Reihen anordnet, sind es 4 Cookies in jeder Reihe.

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