Polynomiale Spezialprodukte: Quadratische Terme

In diesem Video üben wir das Quadrieren von Binomen. Wir kennen diesen Prozess bereits, aber wir werden etwas schwierigere Ausdrücke verwenden. Zuerst eine kleine Wiederholung. Was ergibt (a + b)^2? Pausiere das Video und versuche, es herauszufinden. Du weißt vielleicht schon, was herauskommt, wenn man so ein Binom quadriert, aber ich zeige es trotzdem. Das ist dasselbe wie (a + b)(a + b). Wir multiplizieren das a mit diesem a. Das ergibt a^2. Dann multipliziere ich das a mit diesem b, wodurch wir ab erhalten. Dann multipliziere ich das b mit diesem a. Ich kann es als ba oder ab schreiben, also schreibe ich einfach wieder ab. Und dann multipliziere ich das b mit diesem b, und erhalte b^2. Ich habe gerade zweimal das Distributivgesetz angewandt. In vorherigen Videos erkläre ich diesen Prozess genauer. Das alles solltest du bereits wissen. Falls nicht, schau dir die Einführungsvideos an. Kommen wir zum Vereinfachen. Wir haben a^2, dann addieren wir ab mit ab und erhalten + 2ab, und schließlich + b^2. Wozu diese Wiederholung? Weil wir jetzt mithilfe dieser Idee, dass (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ergibt, etwas kompliziertere Rechnungen durchführen können. Was ergibt also (5x^6 + 4)^2? Pausiere das Video und versuche, es herauszufinden. Und denk an diese beiden Dinge. Es gibt mehrere Ansätze. Du kannst den Ausdruck erweitern, so wie wir es eben gemacht haben, oder du erkennst das Muster, über das wir eben geredet haben. Dass, wenn ich (a + b)^2 habe, das hier dabei herauskommt. Du erkennst vielleicht, dass unser a in diesem Fall 5x^6 ist, und unser b diese 4 hier ist. Es ergibt also a^2, wir haben hier unser a^2. Was ergibt a^2? (5x^6)^2 ergibt 25x^12. Und dann haben wir noch + 2ab. Also + 2⋅ (5x^6) ⋅ (4). Dann haben wir noch + b^2. Also haben wir + 4^2, was + 16 ergibt. Jetzt können wir vereinfachen. Das ergibt 25x^12. 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40. 2 ⋅ 5 = 10, 10 ⋅ 4 = 40. Also haben wir + 40x^6 + 16. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, das ich ein bisschen schneller behandele, da wir mittlerweile ziemlich gut hierin werden. Was ergibt (3t^2 - 7t^6)^2? Pausiere das Video und versuche, es herauszufinden. Jetzt machen wir es gemeinsam. Das ist unser a. Unser b ist jetzt -7t^6. Da hier oben + b steht, können wir das als + (-7t^6) betrachten. Wir können es auch als + (-7t^6) aufschreiben, wenn es uns dabei hilft, zu erkennen, dass das alles b ist. Das ergibt also a^2, was 9t^4 ist, dann haben wir + 2 ⋅ a ⋅ b. 2 ⋅ 3t^2 = 6t^2. Dann haben wir 6t^2 ⋅ (-7t^6). Wir haben also + 2 ⋅ 3t^2 ⋅ (-7t^6). Und zum Schluss haben wir + (-7t^6)^2. -7^2 = 49. (t^6)^2 ist t^12. Wir haben also am Anfang 9t^4, dann rechnen wir 2 ⋅ 3 = 6, 6 ⋅ (-7) = -42, und bei t^2 ⋅ t^6 addieren wir die Exponenten, da wir dieselbe Basis haben und erhalten t^8. Und schließlich haben wir + 49t^12. Sieht ganz schön raffiniert aus. Wir haben dieses Polynom höheren Grades. Wir haben dieses Binom mit höhergradigen Termen quadriert. Aber eigentlich wenden wir nur dieselbe Idee an, die wir vor einiger Zeit beim Quadrieren von Binomen gelernt haben.