Polynomiale Spezialprodukte: 3. Binomische Formel

In vorherigen Videos haben wir Terme wie z.B. (x + y)(x - y) erweitert. Als kleine Wiederholung: Wir rechnen x ⋅ x, was x^2 ergibt, + x ⋅ (-y), was -xy ergibt, + y ⋅ x, was + xy ergibt, und dann y ⋅ (-y), was -y^2 ergibt. -xy und +xy kürzen sich weg, also bleibt x^2 - y^2 übrig. Das ist alles Wiederholung. Dann haben wir überlegt, wie wir Differenzen von Quadraten in Faktoren zerlegen können. Das haben wir gemacht, als wir gelernt haben, wir man Binome multipliziert. Jetzt wollen wir im Grunde dasselbe machen, allerdings mit etwas komplizierteren Ausdrücken. Eine andere Art, das auszudrücken, was wir gerade gemacht haben, ist, so etwas wie (a + b)(a - b) zu schreiben. Was ergibt das? Es ergibt a^2 - b^2. Der einzige Unterschied zwischen dem, was ich hier oben und dem, was ich hier unten geschrieben habe, ist, dass ich anstatt einem x ein a, und anstatt einem y ein b verwendet habe. Jetzt schauen wir, ob wir das folgende Beispiel erweitern und gleiche Ausdrücke kombinieren können. Ich multipliziere folgende Ausdrücke: (3 + 5x^4) ⋅ (3 - 5x^4). Pausiere das Video und versuche es zu lösen. Es gibt zwei Ansatzmöglichkeiten. Du kannst genau so vorgehen, wie ich es hier oben gemacht habe, aber wir wissen bereits, dass, wenn wir dieses Muster haben, bei dem wir denselben Term einmal mit + und einmal mit - haben und dann multiplizieren, dass wir diese Form erhalten, bei dem dieser Ausdruck quadriert wird, und anschließend dieser quadrierte Ausdruck davon subtrahiert wird. Und denk daran: Der einzige Grund, warum ich das anwende, ist, weil ich hier und hier eine 3 habe, also spielt die 3 die Rolle von a. Das ist also unser a. Und unser b ist 5x^4. Das ist also unser b. Und das ergibt a^2 - b^2. Aber unser a ist eine 3, also erhalten wir (3)^2, und unser b ist (5x^4), also haben wir - (5x^4)^2. Zu was lässt sich das vereinfachen? 3^2 = 9. Also haben wir 9 - (5x^4)^2. 5^2 = 25. (x^4)^2 ist dasselbe wie x^4 ⋅ x^4, was x^8 ergibt. Eine andere Möglichkeit sind die Exponentialgesetze. Das ist dasselbe wie 5^2 ⋅ (x^4)^2. Wenn ich einen Term mit Exponent habe und diesen Term dann nochmal potenziere, dann multipliziere ich die Exponenten. Fertig. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Was ergibt (3y^2 + 2y^5) ⋅ (3y^2 - 2y^5)? Pausiere das Video und versuche es herauszufinden. Wir gehen genau so vor wie eben. Du könntest natürlich auch erweitern, so wie wir es am Anfang gemacht haben. Aber dir fällt vielleicht auf, dass du wieder ein (a + b)(a - b) hast. Das ergibt also unser a^2. Was ergibt 3y^2? Es ergibt 9y^4 - b^2. Was ist (2y^5)^2? 2^2 = 4. (y^5)^2 = y^(5 ⋅ 2), also y^10. Weiter vereinfachen kann ich nicht. Ich kann keine gleichen Terme kombinieren. Wir sind also fertig.