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Kurs: Mathematik 2 > Lerneinheit 3

Lektion 3: Lösen durch Ziehen der Quadratwurzel
Mathematik
Mathematik 2
Quadratische Funktionen & Gleichungen
Lösen durch Ziehen der Quadratwurzel
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Quadratische Gleichungen lösen, indem du die Quadratwurzel ziehst

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Lerne wie man quadratische Gleichungen wie zum Beispiel x^2=36 oder (x-2)^2=49 löst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bisher hast du lineare Gleichungen gelöst, die konstante Terme (einfache Zahlen) enthalten und Terme, in denen die Variable in der ersten Potenz angegeben wird, (x1=x).
Du wirst nun lernen quadratische Gleichungen zu lösen, welche Terme enthalten, wo die Variable in der zweiten Potenz vorhanden ist, x2.
Hier sind einige Beispiele der Arten von quadratischen Gleichungen, welche du lernen wirst zu lösen:
x2=36
(x−2)2=49
2x2+3=131
Jetzt kommen wir zum Problem.

x2=36 und ähnliche Gleichungen lösen

Angenommen, wir möchten die Gleichung x2=36 lösen. Lass uns zuerst in Worte fassen, was wir mit der Gleichung herausfinden sollen. Die Frage ist, welche Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, ist gleich 36.
Wenn dir diese Frage bekannt vorkommt, ist es, da dies die Definition der Quadratwurzel von 36 ist, die mathematisch als 36 ausgedrückt wird.
Nun, dies ist, wie die komplette Lösung der Gleichung aussieht:
x2=36x2=36Ziehe die Wurzel.x=±36x=±6
Schauen wir mal, wie wir zu dieser Lösung gekommen sind.

Was das ± Zeichen bedeutet

Beachte, dass jede positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat: eine positive Quadratwurzel und eine negative Quadratwurzel. Z. B. sowohl 6 als auch −6 ergeben 36 wenn sie quadriert werden. Daher hat diese Gleichung zwei Lösungen.
± ist nur eine effiziente Möglichkeit, dies mathematisch darzustellen. Zum Beispiel bedeutet ±6 "entweder 6 oder −6".

Eine Notiz über inverse Vorgänge

Als wir lineare Gleichungen gelöst haben, haben wir die Variable allein auf eine Seite gebracht, indem wir umgekehrte Rechenoperation benutzt haben: Wenn zu der Variable 3 addiert wurde, haben wir 3 von beiden Seiten subtrahiert. Wenn die Variable mit 4 multipiziert wurde, haben wir beide Seiten durch 4 dividiert.
Der umgekehrte Vorgang zum Quadrierern ist das Ziehen der Quadratwurzel. Jedoch müssen wir uns daran erinnern, dass wir im Gegensatz zu den anderen Operationen beim Ziehen der Quadratwurzel die positive und die negative Quadratwurzel ziehen müssen.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Aufgabe 1
Löse x2=16.
x=±
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 2
Löse x2=81.
x=±
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 3
Löse x2=5.
Wähle eine Lösung.

(x−2)2=49 und ähnliche Gleichungen lösen

So geht die Lösung der Gleichung (x−2)2=49:
(x−2)2=49(x−2)2=49Ziehe die Wurzel.x−2=±7x=±7+2Add 2.
Die Lösungen sind daher x=9 und x=5.
Schauen wir mal, wie wir zu dieser Lösung gekommen sind.

Isoliere x

Benutzen wir die umgekehrte Rechenoperation des Wurzelziehens, haben wir das Wurzelzeichen entfernt. Dies war wichtig um x alleine stehen zu haben, aber wir mussten immer noch 2 im letzten Schritt addieren um x wirklich alleine stehen zu haben.

Verstehen der Lösungen

Unsere Berechnung endete mit x=±7+2. Wie sollen wir diesen Ausdruck verstehen? Erinnere dich, dass ±7 "entweder +7 oder −7" bedeutet. Aus diesem Grund sollten wir unsere Lösung nach den beiden Fällen aufteilen: entweder x=7+2 oder x=−7+2.
Dies ergibt die beiden Lösungen x=9 und x=5.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Aufgabe 4
Löse (x+3)2=25.
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 5
Löse (2x−1)2=9.
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 6
Löse (x−5)2=7.
Wähle eine Lösung.

Warum wir die Klammern nicht erweitern sollten

Gehen wir zurück zu unserer Beispielgleichung, (x−2)2=49. Nimm an, wir wollten die Klammern dort erweitern. Schließlich ist das, was wir mit lineare Gleichungen tun, richtig?
Erweitere die Ergebnisse der Klammer in der folgenden Gleichung:
x2−4x+4=49
Wenn wir die Quadratwurzel in dieser Gleichung ziehen wollten, müssten wir die Quadratwurzel des Ausdrucks x2−4x+4 ziehen, aber es ist nicht klar, ob x2−4x+4 als guter Ausdruck neu geschrieben werden kann.
Im Gegensatz dazubekommen wir durch das Ziehen der Quadratwurzeln von Ausdrücken wie x2 oder (x−2)2 einfachere Ausdrücke wie x oder (x−2).
Daher ist es in quadratischen Gleichungen tatsächlich hilfreich, die einzelnen Faktoren zu zerlegen, weil dies uns erlaubt, die Wurzel zu ziehen.

2x2+3=131 und ähnliche Gleichungen lösen

Nicht alle quadratischen Gleichungen werden gelöst, indem man sofort die Quadratwurzel zieht. Manchmal müssen wir den quadrierten Begriff vor dem Ziehen seiner Wurzel isolieren.
Zum Beispiel, um die Gleichung 2x2+3=131 zu lösen, sollten wir zuerst x2 isolieren. Dies machen wir genauso wie wir den x-Term in einer linearen Gleichung isolieren würden.
2x2+3=1312x2=128Subtrahiere 3.x2=64Dividiere durch 2.x2=64Ziehe die Wurzel.x=±8
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Aufgabe 7
Löse 3x2−7=5.
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 8
Löse 4(x−1)2+2=38.
Wähle eine Lösung.

Challengeaufgabe
Löse x2+8x+16=9.
Wähle eine Lösung.

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