Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Löse nach s auf. Wir haben hier ein s Quadrat minus 2s minus 35 gleich 0. Wenn das das erste mal ist, dass Du diese Art Gleichung siehst, - wir haben hier eine quadratische Gleichung - könntest Du versucht sein, nach s mit der üblichen Algebra aufzulösen. Aber die beste Art, dies zu lösen, ist - vor allem wenn es gleich 0 ist - ist, die linke Seite zu faktorisieren. Die so faktorisierten Binome müssen dann gleich 0 sein. Die so faktorisierten Binome müssen dann gleich 0 sein. Lass uns das machen. Wie können wir das faktorisieren? Wir haben das auf verschiedenen Wegen gesehen. Ich zeige Dir den Standard, den wir immer genommen haben, durch Gruppieren, und dann gibt es eine kleine Abkürzung. Du hast eine 1 als Koeffizient hier. Wenn Du also etwas durch Gruppieren machst, d.h. wenn Du durch Gruppieren faktorisierst, denkst Du an zwei Zahlen, deren Summe gleich -2 ist. Du suchst also zwei Zahlen, deren Summe, a + b , gleich -2 ist... ...und deren Produkt gleich - 35 ist. a mal b ist gleich -35. Wenn das Produkt eine negative Zahl ist, muss eine Zahl positiv und die andere negativ sein. Zahlen, die nur 2 Zahlen auseinander liegen sind zum Beispiel 5 und -7. 5 plus - 7 = - 2 Um zu Faktorisieren durch Gruppieren, teilt man den mittleren Term. Du kannst dies teilen in a - lass es mich so schreiben. Wir haben s zum Quadrat, und dann diesen mittleren Ausdruck Ich schreibe das in pink. Diesen mittleren Term kann ich umschreiben zu + 5s minus 7s und dann haben wir die minus 35. Und das Ganze ist gleich 0. Wir nennen dies Faktorisieren durch Gruppieren, weil wir es gruppieren. Wir können diese ersten beiden Terme gruppieren. Und diese ersten beiden Terme haben als gemeinsamen Faktor das s. Lass uns dies heraus-faktorisieren. Du hast s mal s plus 5. Das ist das gleiche, wie s Quadrat plus 5s. In diesen zweiten zwei Termen hast Du als gemeinsamen Faktor - 7. Lass uns die faktorisieren. Du hast also - 7 mal s plus 5. Und das ganze ist gleich 0. Wir haben zwei Terme hier, bei denen beide s plus 5 als Faktor haben. Wir können dies heraus faktorisieren. Lass uns das machen. Du hast s plus 5 mal dieses s hier, richtig? s plus 5 mal s gibt Dir diesen Term. Und dann hast Du - 7 hier. Ich habe die s plus 5 ausgeklammert. Und dann ist dies gleich 0. Da wir dies nun faktorisiert haben, müssen wir nur etwas nachdenken über das, was passiert, wenn man das Produkt zweier Zahlen ermittelt. s plus 5 ist eine Zahl. s minus 7 ist eine andere Zahl. Wir sagen, dass das Produkt dieser Zahlen gleich 0 ist. Wenn ich Dir sagen würde, dass ich zwei Zahlen a und b habe und das Produkt 0 ergibt, was wüssten wir dann über a oder b? Mindestens eine der beiden Zahlen müsste gleich 0 sein. Oder beide müssten gleich 0 sein. Die Tatsache, dass diese Zahl mal diese Zahl 0 ergibt, sagt uns, dass entweder s plus 5 gleich 0 ist, oder s minus 7 gleich 0 ist , oder beide. Ich schreibe das in grün. Du hast also diese beiden Gleichungen. Wir können also sagen, dass eine von beiden oder beide gleich 0 sind. Mal sehen, wie wir das lösen. Wir können 5 auf beiden Seiten subtrahieren. Wir können 5 auf beiden Seiten subtrahieren. Auf der linken Seite hast Du s gleich - 5. Das ist eine Lösung der Gleichung. Oder: Du addierst 7 auf beiden Seiten und erhältst s = 7. Wenn also s gleich - 5 oder s = -7, dann haben wir die Gleichung erfüllt. Wir können das sogar überprüfen. Wenn Du s gleich - 5 setzt, erhältst Du 25 + 10 - 35 Und das ergbt 0. Wenn Du 7 einsetzt, ergibt sich : 49 - 14 - 35 = 0. Wir haben also nach s aufgelöst. Ich erwähnte, dass es einen einfacheren Weg gibt, dies zu tun. Wenn Du so etwas hast, eine 1 als führenden Koeffizienten, dann musst Du diese 2-Schritt Faktorisierung nicht machen. Lass mich Dir ein Beispiel zeigen. Wenn ich nur x plus a mal x plus b habe. Was ergibt das? x mal x ist x zum Quadrat, y mal b ist bx. a mal x ist ax. a mal b ist ab. Du erhältst x zum Quadrat plus - diese 2 kann man addieren - plus a plus bx plus ab. Und das ist das Muster, das wir genau hier haben. Wir haben 1 als führenden Koeffizienten hier und dort. Wenn wir also unsere 2 Zahlen haben, die sich zu minus 2 addieren - das ist unser a plus b - und wir haben unser Produkt das - 35 ergibt, dann können wir gleich faktorisieren in das Produkt dieser beiden Dinge. Es wird also - das Produkt dieser Binome - wo dies die a's und b's werden. Das haben wir also herausgefunden. Es ist 5 und -7. 5 plus -7 ist -2. 5 mal -5 ist -35. Wir hätten also gleich an diesem Punkt faktorisieren können. Das war der Fall von s. Wir hätten gleich faktorisieren könntn in den Fall s + 5 mal s - 7 Wir hätten dies sofort machen können und hätten nicht hierhin kommen müssen. Und das ganze war gleich 0. Das wäre also eine Abkürzung gewesen. Aber die Faktorisierung durch Gruppierung ist ein angemessener Weg, um zum Ziel zu gelangen.